如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0)、B两点,与y轴交于点C(0,﹣3).(1)求抛物线的...
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如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0)、B两点,与y轴交于点C(0,﹣3).
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)已知点P(m,n)在抛物线上,当﹣2≤m<3时,直接写n的取值范围;
(3)抛物线的对称轴与x轴交于点M,点D与点C关于点M对称,试问在该抛物线上是否存在点P,使△ABP与△ABD全等?若存在,请求出所有满足条件的P点的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
【解析】(1)将点C坐标代入函数表达式得:y=x2+bx﹣3,
将点A的坐标代入上式并解得:b=﹣2,
故抛物线的表达式为:y=x2﹣2x﹣3;
(2)令y=x2﹣2x﹣3=0,则x=3或﹣1,即点B(3,0),
函数的对称轴为x=1,
m=﹣2时,n=4+4﹣3=5,
m<3,函数的最小值为顶点纵坐标的值:﹣4,
故﹣4≤n≤5;
(3)点D与点C(0,﹣3)关于点M对称,则点D(2,3),
在x轴上方的P不存在,点P只可能在x轴的下方,
如下图当点P在对称轴右侧时,点P为点D关于x轴的对称点,此时△ABP与△ABD全等,
即点P(2,﹣3);
同理点C(P′)也满足△ABP′与△ABD全等,
即点P′(0,﹣3);
故点P的坐标为(0,﹣3)或(2,﹣3).
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:综合题
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