如图，抛物线y＝ax2+x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣x﹣2经过点A，C．（1）求抛物线的...

问题详情：

如图，抛物线y＝ax2+x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣x﹣2经过点A，C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M，设点P的横坐标为m．

①当△PCM是直角三角形时，求点P的坐标；

②作点B关于点C的对称点B'，则平面内存在直线l，使点M，B，B′到该直线的距离都相等．当点P在y轴右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线l：y＝kx+b的解析式．（k，b可用含m的式子表示）

【回答】

【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，C的坐标，根据点A，C的坐标，利用待定系数法可求出二次函数解析式；

（2）①由PM⊥x轴可得出∠PMC≠90°，分∠MPC＝90°及∠PCM＝90°两种情况考虑：（i）当∠MPC＝90°时，PC∥x轴，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点P的坐标；（ii）当∠PCM＝90°时，设PC与x轴交于点D，易*△AOC∽△COD，利用相似三角形的*质可求出点D的坐标，根据点C，D的坐标，利用待定系数法可求出直线PC的解析式，联立直线PC和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点P的坐标．综上，此问得解；

②利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点B，P的坐标，根据点P，B的坐标，利用待定系数法可求出直线PB的解析式，结合题意可知：直线l过点C，且直线l∥直线PB，再结合点C的坐标即可求出直线l的解析式．

【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣x﹣2＝﹣2，

∴点C的坐标为（0，﹣2）；

当y＝0时，﹣x﹣2＝0，

解得：x＝﹣4，

∴点A的坐标为（﹣4，0）．

将A（﹣4，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2+x+c，得：

，解得：，

∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣2．

（2）①∵PM⊥x轴，

∴∠PMC≠90°，

∴分两种情况考虑，如图1所示．

（i）当∠MPC＝90°时，PC∥x轴，

∴点P的纵坐标为﹣2．

当y＝﹣2时，x2+x﹣2＝﹣2，

解得：x1＝﹣2，x2＝0，

∴点P的坐标为（﹣2，﹣2）；

（ii）当∠PCM＝90°时，设PC与x轴交于点D．

∵∠OAC+∠OCA＝90°，∠OCA+∠OCD＝90°，

∴∠OAC＝∠OCD．

又∵∠AOC＝∠COD＝90°，

∴△AOC∽△COD，

∴＝，即＝，

∴OD＝1，

∴点D的坐标为（1，0）．

设直线PC的解析式为y＝kx+b（k≠0），

将C（0，﹣2），D（1，0）代入y＝kx+b，得：

，解得：，

∴直线PC的解析式为y＝2x﹣2．

联立直线PC和抛物线的解析式成方程组，得：，

解得：，，

点P的坐标为（6，10）．

综上所述：当△PCM是直角三角形时，点P的坐标为（﹣2，﹣2）或（6，10）．

②当y＝0时，x2+x﹣2＝0，

解得：x1＝﹣4，x2＝2，

∴点B的坐标为（2，0）．

∵点C的坐标为（0，﹣2），点B，B′关于点C对称，

∴点B′的坐标为（﹣2，﹣4）．

∵点P的横坐标为m（m＞0且m≠0），

∴点M的坐标为（m，0）．

分三种情况考虑，如图2所示：

∴直线PB的解析式为y＝（m+4）x﹣（m+4）（可利用待定系数求出）．

∵点B，B′关于点C对称，点B，B′，P到直线l的距离都相等，

∴直线l过点C，且直线l∥直线PB，

∴直线l的解析式为y＝（m+4）x﹣2．

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定与*质以及平行线的*质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）①分∠MPC＝90°及∠PCM＝90°两种情况求出点P的坐标；②利用待定系数法及平行线的*质，求出直线l的解析式．

知识点：各地中考

题型：综合题