如图,以D为顶点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点,交y轴于点C,直线BC的表达式为y=﹣x+3....
问题详情:
如图,以D为顶点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点,交y轴于点C,直线BC的表达式为y=﹣x+3.
(1)求抛物线的表达式;
(2)在直线BC上有一点P,使PO+PA的值最小,求点P的坐标;
(3)在x轴上是否存在一点Q,使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
(1)y=﹣x2+2x+3;(2)P ( ,);(3)当Q的坐标为(0,0)或(9,0)时,以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似.
【解析】
(1)先求得点B和点C的坐标,然后将点B和点C的坐标代入抛物线的解析式得到关于b、c的方程,从而可求得b、c的值;(2)作点O关于BC的对称点O′,则O′(3,3),则OP+AP的最小值为AO′的长,然后求得AO′的解析式,最后可求得点P的坐标;(3)先求得点D的坐标,然后求得CD、BC、BD的长,依据勾股定理的逆定理*△BCD为直角三角形,然后分为△AQC∽△DCB和△ACQ∽△DCB两种情况求解即可.
【详解】
(1)把x=0代入y=﹣x+3,得:y=3,
∴C(0,3).
把y=0代入y=﹣x+3得:x=3,
∴B(3,0),A(﹣1,0).
将C(0,3)、B(3,0)代入y=﹣x2+bx+c得: ,解得b=2,c=3.
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3.
(2)如图所示:作点O关于BC的对称点O′,则O′(3,3).
∵O′与O关于BC对称,
∴PO=PO′.
∴OP+AP=O′P+AP≤AO′.
∴OP+AP的最小值=O′A==5.
O′A的方程为y=
P点满足解得:
所以P ( ,)
(3)y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴D(1,4).
又∵C(0,3,B(3,0),
∴CD=,BC=3,DB=2.
∴CD2+CB2=BD2,
∴∠DCB=90°.
∵A(﹣1,0),C(0,3),
∴OA=1,CO=3.
∴.
又∵∠AOC=DCB=90°,
∴△AOC∽△DCB.
∴当Q的坐标为(0,0)时,△AQC∽△DCB.
如图所示:连接AC,过点C作CQ⊥AC,交x轴与点Q.
∵△ACQ为直角三角形,CO⊥AQ,
∴△ACQ∽△AOC.
又∵△AOC∽△DCB,
∴△ACQ∽△DCB.
∴,即,解得:AQ=10.
∴Q(9,0).
综上所述,当Q的坐标为(0,0)或(9,0)时,以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似.
【点睛】
本题考查了二次函数的综合应用,解题的关键是掌握待定系数法求二次函数的解析式、轴对称图形的*质、相似三角形的*质和判定,分类讨论的思想.
知识点:二次函数单元测试
题型:解答题
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