如图,抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C.直线y=x﹣5经过点B,C.(1)求抛物线的...
问题详情:
如图,抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C.直线y=x﹣5经过点B,C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)过点A的直线交直线BC于点M.
①当AM⊥BC时,过抛物线上一动点P(不与点B,C重合),作直线AM的平行线交直线BC于点Q,若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的横坐标;
②连接AC,当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时,请直接写出点M的坐标.
【回答】
(1)抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5;(2)①P点的横坐标为4或或;②点M的坐标为(,﹣)或(,﹣).
【解析】
分析:(1)利用一次函数解析式确定C(0,-5),B(5,0),然后利用待定系数法求抛物线解析式;
(2)①先解方程-x2+6x-5=0得A(1,0),再判断△OCB为等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°,则△AMB为等腰直角三角形,所以AM=2,接着根据平行四边形的*质得到PQ=AM=2,PQ⊥BC,作PD⊥x轴交直线BC于D,如图1,利用∠PDQ=45°得到PD=PQ=4,设P(m,-m2+6m-5),则D(m,m-5),讨论:当P点在直线BC上方时,PD=-m2+6m-5-(m-5)=4;当P点在直线BC下方时,PD=m-5-(-m2+6m-5),然后分别解方程即可得到P点的横坐标;
②作AN⊥BC于N,NH⊥x轴于H,作AC的垂直平分线交BC于M1,交AC于E,如图2,利用等腰三角形的*质和三角形外角*质得到∠AM1B=2∠ACB,再确定N(3,-2),
AC的解析式为y=5x-5,E点坐标为(,-),利用两直线垂直的问题可设直线EM1的解析式为y=-x+b,把E(,-)代入求出b得到直线EM1的解析式为y=-x-,则解方程组得M1点的坐标;作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2,如图2,利用对称*得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB,设M2(x,x-5),根据中点坐标公式得到3=,然后求出x即可得到M2的坐标,从而得到满足条件的点M的坐标.
详解:(1)当x=0时,y=x﹣5=﹣5,则C(0,﹣5),
当y=0时,x﹣5=0,解得x=5,则B(5,0),
把B(5,0),C(0,﹣5)代入y=ax2+6x+c得
,解得,
∴抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5;
(2)①解方程﹣x2+6x﹣5=0得x1=1,x2=5,则A(1,0),
∵B(5,0),C(0,﹣5),
∴△OCB为等腰直角三角形,
∴∠OBC=∠OCB=45°,
∵AM⊥BC,
∴△AMB为等腰直角三角形,
∴AM=AB=×4=2,
∵以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,AM∥PQ,
∴PQ=AM=2,PQ⊥BC,
作PD⊥x轴交直线BC于D,如图1,则∠PDQ=45°,
∴PD=PQ=×2=4,
设P(m,﹣m2+6m﹣5),则D(m,m﹣5),
当P点在直线BC上方时,
PD=﹣m2+6m﹣5﹣(m﹣5)=﹣m2+5m=4,解得m1=1,m2=4,
当P点在直线BC下方时,
PD=m﹣5﹣(﹣m2+6m﹣5)=m2﹣5m=4,解得m1=,m2=,
综上所述,P点的横坐标为4或或;
②作AN⊥BC于N,NH⊥x轴于H,作AC的垂直平分线交BC于M1,交AC于E,如图2,
∵M1A=M1C,
∴∠ACM1=∠CAM1,
∴∠AM1B=2∠ACB,
∵△ANB为等腰直角三角形,
∴AH=BH=NH=2,
∴N(3,﹣2),
易得AC的解析式为y=5x﹣5,E点坐标为(,﹣,
设直线EM1的解析式为y=﹣x+b,
把E(,﹣)代入得﹣+b=﹣,解得b=﹣,
∴直线EM1的解析式为y=﹣x﹣
解方程组得,则M1(,﹣);
作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2,如图2,则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB,
设M2(x,x﹣5),
∵3=
∴x=,
∴M2(,﹣).
综上所述,点M的坐标为(,﹣)或(,﹣).
点睛:本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的*质、等腰直角的判定与*质和平行四边形的*质;会利用待定系数法求函数解析式;理解坐标与图形*质;会运用分类讨论的思想解决数学问题.
知识点:二次函数单元测试
题型:解答题
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