如图，抛物线y=x2﹣bx﹣5与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点C与点F关于抛物线的...

问题详情：

如图，抛物线y=x2﹣bx﹣5与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点C与点F关于抛物线的对称轴对称，直线AF交y轴于点E，|OC|：|OA|=5：1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求直线AF的解析式；

（3）在直线AF上是否存在点P，使△CFP是直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

【回答】

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）根据抛物线解析式求出OC的长度，再根据比例求出OA的长度，从而得到点A的坐标，然后把点A的坐标代入抛物线解析式计算求出b，即可得到抛物线解析式；

（2）根据点C、F关于对称轴对称可得点F的纵坐标与点C的纵坐标相等，设出点F的坐标为（x0，﹣5），代入抛物线求出点F的横坐标，然后利用待定系数法求直线函数解析式求解即可；

（3）分①点P与点E重合时，△CFP是直角三角形，②CF是斜边时，过C作CP⊥AF于点P，然后根据点C、E、F的坐标求出PC=PF，从而求出点P在抛物线对称轴上，再根据抛物线的对称轴求解即可．

【解答】解：（1）∵y=x2﹣bx﹣5，

∴|OC|=5，

∵|OC|：|OA|=5：1，

∴|OA|=1，

即A（﹣1，0），

把A（﹣1，0）代入y=x2﹣bx﹣5得：

（﹣1）2+b﹣5=0，

解得b=4，

抛物线的解析式为y=x2﹣4x﹣5；

（2）∵点C与点F关于对称轴对称，C（0，﹣5），设F（x0，﹣5），

∴x02﹣4x0﹣5=﹣5，

解得x0=0（舍去），或x0=4，

∴F（4，﹣5），

∴对称轴为直线x=2，

设直线AF的解析式为y=kx+b，

把F（4，﹣5），A（﹣1，0），代入y=kx+b，

得，

解得，

所以，直线FA的解析式为y=﹣x﹣1；

（3）存在．

理由如下：①当∠FCP=90°时，点P与点E重合，

∵点E是直线y=﹣x﹣1与y轴的交点，

∴E（0，﹣1），

∴P（0，﹣1），

②当CF是斜边时，过点C作CP⊥AF于点P（x1，﹣x1﹣1），

∵∠ECF=90°，E（0，﹣1），C（0，﹣5），F（4，﹣5），

∴CE=CF，

∴EP=PF，

∴CP=PF，

∴点P在抛物线的对称轴上，

∴x1=2，

把x1=2代入y=﹣x﹣1，得

y=﹣3，

∴P（2，﹣3），

综上所述，直线AF上存在点P（0，﹣1）或（2，﹣3）使△CFP是直角三角形．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：解答题