如图,抛物线y=-x2-2x+3的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,点D为抛物线的...
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如图,抛物线y=-x2-2x+3 的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点.
(1)求A,B,C三点的坐标.
(2)点M为线段AB上一点(点M不与点A,B重合),过点M作x轴的垂线,与直线AC交于点E,与抛物线交于点P,过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q,过点Q作QN⊥x轴于点N.若点P在点Q左边,当矩形PMNQ的周长最大时,求△AEM的面积.
(3)在(2)的条件下,当矩形PMNQ的周长最大时,连结DQ.过抛物线上一点F作y轴的平行线,与直线AC交于点G(点G在点F的上方).若FG=2DQ,求点F的坐标.
【回答】
解:(1)由抛物线y=-x2-2x+3可知点C(0,3),
令y=0,则0=-x2-2x+3,解得x=-3或x=1,∴点A(-3,0),B(1,0).
(2)由抛物线y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4可知,对称轴为直线x=-1,
设点M的横坐标为m,则PM=-m2-2m+3,MN=(-m-1)×2=-2m-2,
∴矩形PMNQ的周长=2(PM+MN)=2(-m2-2m+3-2m-2)=-2m2-8m+2=-2(m+2)2+10,
∴当m=-2时矩形的周长最大.
∵点A(-3,0),C(0,3),可求得直线AC的函数表达式为y=x+3,
当x=-2时,y=-2+3=1,则点E(-2,1),∴EM=1,AM=1,∴S=AM·EM=.
(3)∵点M的横坐标为-2,抛物线的对称轴为x=-1,
∴点N应与原点重合,点Q与点C重合,∴DQ=DC,
把x=-1代入y=-x2-2x+3,得y=4,∴点D(-1,4).∴DQ=DC
∵FG=2DQ,∴FG=4,
设点F(n,-n2-2n+3),则点G(n,n+3),
∵点G在点F的上方,∴(n+3)-(-n2-2n+3)=4,解得n=-4或n=1.
∴点F(-4,-5)或(1,0).
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:解答题
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