已知抛物线y＝x2＋4x＋3交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧)，交y轴于点C，抛物线的对称轴l交x轴于点E...

问题详情：

已知抛物线y＝x2＋4x＋3交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧)，交y轴于点C，抛物线的对称轴l交x轴于点E.

(1)求抛物线的对称轴及点A的坐标；

(2)点P为坐标系内一点，且以点A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形，求出所有满足条件的P点的坐标．

(3)连接CA与L交于点D，M为抛物线上一点，是否存在点M，使经过点C、M的直线恰好将四边形DEOC的面积平分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由．

第8题图

【回答】

解：(1)对称轴为直线x＝－＝－2，

当y＝0时，有x2＋4x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝－3，

∴点A的坐标为(－3，0)；

(2)由y＝x2＋4x＋3可知A(－3，0)，B(－1，0)，C(0，3)，

①当AC是平行四边形的对角线时，将点C向左平移两个单位长度即是P点，即P(－2，3)；

②当BC是平行四边形的对角线时，将点C向右平移两个单位长度即是P点，即P(2，3)；

③当AB是平行四边形的对角线时，将点A向下平移三个单位长度再向左平移1个单位长度即是P点，即P(－4，－3)；

满足条件的点P有3个，分别为(－2，3)，(2，3)，(－4，－3)；

(3)存在；

∵点C的坐标为(0，3)，

又DE∥y轴，AO＝3，EO＝2，AE＝1，CO＝3，

∴△AED∽△AOC，

∴＝，即＝，

∴DE＝1，

∴S四边形DEOC＝×(1＋3)×2＝4，

在OE上找点F，使OF＝，

此时S△COF＝××3＝2，

直线CF把四边形DEOC分成面积相等的两部分，交抛物线于点M，

设直线CM的解析式为y＝kx＋3，它经过点F(－，0)，

则－k＋3＝0，解得k＝，

∴直线CM的解析式为y＝x＋3.

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：解答题