如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx...

问题详情：

如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）．

（1）求抛物线和直线l的解析式；

（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；

（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【回答】

【解答】解：（1）将点A、D的坐标代入直线表达式得：，解得：，

故直线l的表达式为：y＝﹣x﹣1，

将点A、D的坐标代入抛物线表达式，

同理可得抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；

（2）直线l的表达式为：y＝﹣x﹣1，则直线l与x轴的夹角为45°，

即：则PE＝PE，

设点P坐标为（x，﹣x2+3x+4）、则点F（x，﹣x﹣1），

PE+PF＝2PF＝2（﹣x2+3x+4+x+1）＝﹣2（x﹣2）2+18，

∵﹣2＜0，故PE+PF有最大值，

当x＝2时，其最大值为18；

（3）NC＝5，

①当NC是平行四边形的一条边时，

设点P坐标为（x，﹣x2+3x+4）、则点M（x，﹣x﹣1），

由题意得：|yM﹣yP|＝5，即：|﹣x2+3x+4+x+1|＝5，

解得：x＝2或0或4（舍去0），

则点P坐标为（2+，﹣3﹣）或（2﹣，﹣3+）或（4，﹣5）；

②当NC是平行四边形的对角线时，

则NC的中点坐标为（﹣，2），

设点P坐标为（m，﹣m2+3m+4）、则点M（n，﹣n﹣1），

N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形，则NC的中点即为PM中点，

即：﹣＝，2＝，

解得：m＝0或﹣4（舍去0），

故点P（﹣4，3）；

故点P的坐标为：（2+，﹣3﹣）或（2﹣，﹣3+）或（4，﹣5）或（﹣4，3）．

知识点：各地中考

题型：综合题