如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B(A左B右),与y轴交于C,直线y=﹣x+5经过点B、C.(1...
问题详情:
如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B(A左B右),与y轴交于C,直线y=﹣x+5经过点B、C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P为第二象限抛物线上一点,设点P横坐标为m,点P到直线BC的距离为d,求d与m的函数解析式;
(3)在(2)的条件下,若∠PCB+∠POB=180°,求d的值.
【回答】
(1)y=﹣x2+x+5(2)d=m2﹣m(﹣2<m<0)(3)
【解析】
【分析】
(1)首先求出B、C两点坐标,再利用待定系数法即可解决问题;
(2)如图1中,作PE⊥BC于E,作PF∥AB交BC于F.只要*△PEF是等腰直角三角形,想办法求出PF(用m表示),即可解决问题;
(3)首先*O、B、C、P四点共圆,推出∠CPB=∠COB=90°,可得PH=BC=,由P(m,﹣m2+m+5),H(,),可得(m﹣)2+(﹣m2+m+5﹣)2=,解方程去m,再利用(2)中结论即可解决问题.
【详解】
(1)∵直线y=﹣x+5经过点B、C,
∴B(5,0),C(0,5),
把B、C坐标代入y=﹣x2+bx+c得到: ,
解得,
∴二次函数的解析式为y=﹣x2+x+5;
(2)如图1中,作PE⊥BC于E,作PF∥AB交BC于F.
∵P(m,﹣m2+m+5),
∵PF∥AB,
∴点F的纵坐标为﹣m2+m+5,
则有﹣m2+m+5=﹣x+5,
∴x=m2﹣m,
∴PF=m2﹣m﹣m=m2﹣m,
∵OB=OC,∠BOC=90°,
∴∠EFP=∠OBC=45°,∵PE⊥EF,
∴△PEF是等腰直角三角形,
∴d=PE=PF=m2﹣m(﹣2<m<0);
(3)如图2中,取BC的中点H,连接PH.
∵∠PCB+∠POB=180°,
∴O、B、C、P四点共圆,
∴∠CPB=∠COB=90°,
∴PH=BC=,
∵P(m,﹣m2+m+5),H(,),
∴(m﹣)2+(﹣m2+m+5﹣)2=,
整理得:m(m﹣5)(m2﹣m﹣2)=0,
解得m=0或5或﹣1或2,
∵P在第二象限,
∴m=﹣1,
∴d=m2﹣m=.
【点睛】
本题考查二次函数综合题、等腰直角三角形的*质、待定系数法、四点共圆、二元二次方程组等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造等腰直角三角形解决问题,学会构建方程组解决问题,属于中考压轴题.
知识点:二次函数单元测试
题型:解答题
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