已知抛物线y＝﹣x2+x+9与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）如图1，点P为线段...

问题详情：

已知抛物线y＝﹣x2+x+9与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）如图1，点P为线段BC上方抛物线上的任意一点，当四边形PCAB面积最大时，连接OP并延长至点Q，使PQ＝OP，在对称轴上有一动点E，将△ACE沿边CE翻折得到△A′CE，取BA′的中点N，求BQ+QN的最大值；

（2）如图2，将△AOC绕点O顺时针旋转至△A1OC1的位置，点A，C的对应点分别为A1，C1，且点A1落在线段AC上，再将△A1OC1沿y轴平移得△A2O1C2，其中直线O1C2与x轴交于点K，点T是抛物线对称轴上的动点，连接KT，O1T，△O1KT能否成为以O1K为直角边的等腰直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点T的坐标；若不能，请说明理由．

【回答】

解：（1）

针对于抛物线y＝﹣x2+x+9，

令x＝0，则y＝9，

∴C（0，9），

令y＝0，

∴0＝﹣x2+x+9，

∴x＝﹣3，或x＝9，

∴A（﹣3，0），B（9，0），

∵S四边形ABPC＝S△ABC+S△BPC

＝×（9+3）×9+S△BPC＝45+S△BPC，

要四边形ABPC的面积最大，只要△BPC的面积最大，

∵B（9，0），C（0，9）

∴直线BC的解析式为y＝﹣x+9，如图1，

过点P作PD'∥y轴交BC于D'，

设点P（m，﹣m2+m+9）（0＜m＜9），

∴D（m，﹣m+9），

∴PD'＝﹣m2+m+9﹣（﹣m+9）＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，

∴S△BPC＝[﹣（m﹣）2+]×9＝﹣（m﹣）2+

∴当m＝时，△BPC的面积最大，即：四边形ABPC的面积最大，

∴P（，），

∵点Q在OP的延长线上，且PQ＝OP，

∴Q（9，），

∵B（9，0）

∴BQ⊥x轴，BQ＝，

如图2，

延长BQ至F，使QF＝BQ，连接A'F，

∴BF＝45，

∴F（9，45），

∵点N是A'B的中点，

∴QN是△A'BF的中位线，

∴A'F＝2QN，

∵BQ+QN＝9+QN，最大，

∴QN最大，即：A'F最大，

由折叠知，点A'在以点C为圆心，AC＝6为半径的圆上，

∴FA'过点C时，A'F最大，

∵C（0，9），F（9，45），

∴直线CF的解析式为y＝x+9，

令y＝0，

∴x＝﹣＞3，

∴点A'在x轴下方，如图3，

过点C作CD⊥BF于D，

在Rt△CDF中，CF＝＝9，

∴A'F最大＝CF+A'C＝9+6，

∴QN最大＝，

∴（QN+QB）最大＝+＝；

（2）在Rt△AOC中，OA＝3，OC＝9，

∴tan∠OAC＝＝，

∴∠OAC＝60°，

由旋转知，OA＝OA1，

∴△AOA1是等边三角形，

∠A1OA＝60°＝∠OA1C1，

∴A1C1∥x轴，

∴∠OC1A1＝30°，C1（9，3）

∴直线OC1的解析式为y＝x，

∵OC1∥O1C2，

∴设直线O1C2的解析式为y＝x+b，

∴O1（0，b），K（﹣b，0），

∴OO1＝|b|，OK＝|b|，

∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+9，

∴此抛物线的对称轴为x＝3，

①当∠O1KT＝90°时，b＜0，OO1＝﹣b，OK＝﹣b，

如图4，易*，△O1OK≌△KHT（AAS），

∴OO1＝KT，OK＝HT，

∴|b|+|b|＝3，

∴b＝．

∴HT＝OK＝，

∴T（3，）；

②当∠KO1T＝90°时，当b＞0时，如图5，OO1＝b，OK＝b，

易*，△O1OK≌△O1HT（AAS），

∴OO1＝HT，OK＝O1H，

∴b＝3，

∴OH＝O1H﹣OO1＝OK﹣OO1＝9﹣3，

∴T（3，9﹣3）；

当∠KO1T＝90°时，当b＜0时，如图6，

OO1＝﹣b，OK＝﹣b，

易*，△O1OK≌△O1HT（AAS），

∴OO1＝HT，OK＝O1H，

∴b＝﹣3，

∴OH＝O1H+OO1＝OK+OO1＝9+3，

∴T（3，﹣9﹣3）；

即：（3，）或（3，9﹣3）或（3，﹣9﹣3）．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：综合题