已知抛物线L:y=x2+x-6与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),并与y轴相交于点C.(1)求A、B...
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已知抛物线L:y=x2+x-6与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),并与y轴相交于点C.
(1)求A、B、C三点的坐标,并求出△ABC的面积;
(2)将抛物线向左或向右平移,得到抛物线L´,且L´与x轴相交于A´、B´两点(点A´在点B´的左侧),并与y轴交于点C´,要使△A´B´C´和△ABC的面积相等,求所有满足条件的抛物线的函数表达式.
【回答】
【详解】(1)当y=0时,x2+x-6=0,解得x1=-3,x2=2,
当x=0时,y=-6,
∴A(-3,0),B(2,0),C(0,6),
∴S△ABC=AB·OC=×5×6=15;
(2)将抛物线向左或向右平移时,A´、B´两点间的距离不变,始终为5,
那么要使△A´B´C´和△ABC的面积相等,高也只能是6,
设A(a,0),则B(a+5,0),y=(x-a)(x-a-5),
当x=0时,y=a2+5a,
当C´点在x轴上方时,y=a2+5a=6,a=1或a=-6,
此时y=x2-7x-6或y=x2+7x-6;
当C´点在x轴下方时,y=a2+5a=-6,a=-2或a=-3,
此时y=x2-x-6或y=x2+x-6(与原抛物线重合,舍去);
所以,所有满足条件的抛物线的函数表达式为:y=x2-7x-6,y=x2+7x-6,y=x2-x-6.
【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点、抛物线的平移等知识,熟知抛物线沿x轴左右平移时,抛物线与x轴两个交点间的距离不变是解(2)小题的关键.
知识点:各地中考
题型:解答题
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