如图1,抛物线与抛物线相交y轴于点C,抛物线与x轴交于A、B两点(点B在点A的右侧),直线交x轴负半轴于点N,...
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如图1,抛物线与抛物线相交y轴于点C,抛物线与x轴交于A、B两点(点B在点A的右侧),直线交x轴负半轴于点N,交y轴于点M,且.
(1)求抛物线的解析式与k的值;
(2)抛物线的对称轴交x轴于点D,连接,在x轴上方的对称轴上找一点E,使以点A,D,E为顶点的三角形与相似,求出的长;
(3)如图2,过抛物线上的动点G作轴于点H,交直线于点Q,若点是点Q关于直线的对称点,是否存在点G(不与点C重合),使点落在y轴上?若存在,请直接写出点G的横坐标,若不存在,请说明理由.
【回答】
(1),k的值为;(2)的长为或10;(3)存在,点G的横坐标为或或或.
【解析】(1)根据抛物线可求得点C的坐标,代入即可求得t的值,由,求得点N的坐标,进而求得k的值;
(2)因为∠AOC=∠EDA=90°已确定,所以分两种情况讨论△BDA与△AOC相似,通过对应边的比相等可求出DE的长;
(3)先根据题意画出图形,通过轴对称的*质等*四边形QMQ'G为菱形,分别用字母表示出Q,G的坐标,分两种情况讨论求出GQ'的长度,利用三角函数可求出点G的横坐标.
【详解】(1)当时,,
∴点C的坐标为 (0,4),
∵点C (0,4)在抛物线的图象上,
∴,
∴,
∴抛物线的解析式为,
∵C (0,4),,
∴,
∴点N的坐标为 (,0),
∵直线过N (,0),
∴,
解得,
∴抛物线的解析式为,k的值为;
(2)连接,
令,则,
解得,
∴点A的坐标为 (,0),点B的坐标为 (4,0),
∴抛物线的对称轴为直线.
∴点A的坐标为 (,0),
∵C (0,4),
∴,,,
①当时,
,
∴,
∴;
②当时,
,
∴,
∴,
综上,的长为或10;
(3)如图,点是点Q关于直线的对称点,且点在y轴上时,
由轴对称*质可知,,,,
∵轴,∴轴.
∴,
∴,
∴,
∴,
∴四边形为菱形,
∴,
作轴于点P,
设,
则,
∴,
,
∵,
∴,
令,则,令,则,
∴直线与坐标轴的交点分别为M (0,3),N(,0),
∴OM=3,ON=4,
在中,,
∴,
【点睛】本题是二次函数与几何的综合题,考查了用待定系数法求解析式,三角形相似的判定和*质,轴对称的*质及三角函数等,解题关键是能够根据题意画出图形及灵活运用分类讨论的思想解题.
知识点:相似三角形
题型:综合题
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