如图,抛物线与x轴交于点,点,与y轴交于点C,且过点.点P、Q是抛物线上的动点.(1)求抛物线的解析式;(2)...
问题详情:
如图,抛物线与x轴交于点,点,与y轴交于点C,且过点.点P、Q是抛物线上的动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当点P在直线OD下方时,求面积的最大值.
(3)直线OQ与线段BC相交于点E,当与相似时,求点Q的坐标.
【回答】
(1)抛物线的表达式为:;(2)有最大值,当时,其最大值为;(3) 或或或.
【分析】
(1)函数的表达式为:y=a(x+1)(x-3),将点D坐标代入上式,即可求解;
(2)设点,求出,根据,利用二次函数的*质即可求解;
(3)分∠ACB=∠BOQ、∠BAC=∠BOQ,两种情况分别求解,通过角的关系,确定直线OQ倾斜角,进而求解.
【详解】
解:(1)函数的表达式为:,将点D坐标代入上式并解得:,
故抛物线的表达式为:…①;
(2)设直线PD与y轴交于点G,设点,
将点P、D的坐标代入一次函数表达式:并解得,直线PD的表达式为:,则,
,
∵,故有最大值,当时,其最大值为;
(3)∵,∴,
∵,故与相似时,分为两种情况:
①当时,,,,
过点A作AH⊥BC与点H,
,解得:,
∴CH=
则,
则直线OQ的表达式为:…②,
联立①②并解得:,
故点或;
②时,
,
则直线OQ的表达式为:…③,
联立①③并解得:,
故点或;
综上,点或或或.
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用,涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的计算等,其中(3),要注意分类求解,避免遗漏.
知识点:二次函数单元测试
题型:解答题
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