如图，抛物线与轴交于，两点． （1）若过点的直线是抛物线的对称轴．①求抛物线的解析式；②对称轴上是否存在一点，...

问题详情：

如图，抛物线与轴交于，两点．

（1）若过点的直线是抛物线的对称轴．

①求抛物线的解析式；

②对称轴上是否存在一点，使点关于直线的对称点恰好落在对称轴上．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

（2）当，时，函数值的最大值满足，求的取值范围．

【回答】

（1）①；②存在，或；（2）．

【解析】

（1）①根据抛物线的对称轴公式即可求出解析式；

②如图1，若点P在x轴上方，点B关于OP对称的点在对称轴上，连接、PB，根据轴对称得到，，求出点B的坐标，勾股定理得到，再根据，列出方程解答，同理得到点P在x轴下方时的坐标即可；

（2）当时，确定对称轴的位置，再结合开口方向，确定当时，函数的增减*，从而得到当x=2时，函数取最大值，再列出不等式解答即可．

【详解】

解：（1）①抛物线的对称轴为直线，

∴若过点的直线是抛物线的对称轴，

则，解得：b=4，

∴；

②存在，

如图1，若点P在x轴上方，点B关于OP对称的点在对称轴上，连接、PB，

则，，

对于，令y=0，则，

解得：，

∴A（-1,0），B（5,0），

∴，

∴，

∴，

设点P（2，m），

由可得：，解得：，

∴，

同理，当点P在x轴下方时，，

综上所述，点或

（2）∵抛物线的对称轴为直线，

∴当时，，

∵抛物线开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，

∴当时，取x=2，y有最大值，

即，

∴，解得：，

又∵，

∴．

【点睛】

本题考查了二次函数的综合应用，涉及了二次函数的图象与*质，以及勾股定理的应用，其中第（1）②问要先画出图形再理解，第（2）问运用到了二次函数的增减*，难度不大，解题的关键是熟记二次函数的图象与*质．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：解答题