如图7，抛物线y＝－x2＋2x的对称轴与x轴交于点A，点F在抛物线的对称轴上，且点F的纵坐标为．过抛物线上一点...

问题详情：

如图7，抛物线y＝－x2＋2x的对称轴与x轴交于点A，点F在抛物线的对称轴上，且点F的纵坐标为．过抛物线上一点P（m，n）向直线y＝作垂线，垂足为M，连结PF． 　　（1）当m＝2时，求*：PF＝PM；

（2）当点P为抛物线上任意一点时，PF＝PM是否还成立？若成立，请给出*；若不成立，请说明理由．

【回答】

 解：（1）当m＝2时，n＝－22＋2×2＝0.

∴此时点P为抛物线与x轴的右交点．

 ∵PM⊥直线y＝，

∴PM＝． ………………………………………………2分

∵y＝－x2＋2x的对称轴为直线x＝1，点F的纵坐标为，

∴F（1，）．　……………………………………………3分

在△FAP中，∠FAP＝90°，

∴PF＝．

∴PF＝PM．　　………………………………………………4分

（2）PF＝PM仍然成立．理由如下：…………5分

过点P作PB⊥AF于点B．

当点B与点F重合时，n＝,

∴－m2＋2m＝，解得，m＝或．……6分

∴PF＝，

∵PM＝－＝．

∴PF＝PM．　…………………………………7分

当点B与点F不重合时，如图．

∴BF＝，BP＝．　　　……………………………………8分

在△BFP中，∠PBF＝90°，

∴PF2＝BF2＋BP2．

PF2＝＋＝．……………9分

∵点P（m，n）在抛物线上，

∴，

∴PF2＝＝．

∵PM⊥直线y＝，P（m，n），

∴PM2＝（n－）2＝．

∴PF2＝PM2．

∴PF＝PM．

综上，点P为抛物线y＝－x2＋2x上任意一点都有PF＝PM．　………10分

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：解答题