抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为（4，0），抛物线的对称轴是x＝...

问题详情：

抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为（4，0），抛物线的对称轴是x＝1．下列结论中：①abc<0；②2a＋b＝0；③3a+c>0；④关于x的方程ax2＋bx＋c-2＝0有两个不相等的非零实数根m、n（m＜n）则-2< m＜n<4；⑤若点A（m，n）在该抛物线上，则am2＋bm≤a＋b；其中正确的有（　　）

A．5个                       B．4个                       C．3个                       D．2个

【回答】

A

【分析】

结合函数图象，根据二次函数的*质及二次函数与一元二次方程、一元二次不等式间的关系逐一判断即可．

【详解】

①抛物线开口向下，则a＜0，

对称轴在y轴的右侧，a、b异号，所以b＞0，

抛物线与y轴交在正半轴，c＞0，因此abc＜0，故①正确； ②对称轴x=1，即，也就是2a+b=0，故②正确；

③由于b=-2a， 而x=-1时，y>0，即a-b+c>0， 所以a+2a+c>0，即3a+c>0，故③正确； ④∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴两个交点坐标为（-2，0），（4，0），

则直线y=2与抛物线y=ax2+bx+c的交点的横坐标分别为m与n，

因此方程ax2+bx+c=2即ax2+bx+c-2=0有两个不相等的实数根m与n，

∴-2< m＜n<4，故④正确；

⑤当x=1时，y=a+b+c的值最大，

∵点A（m，n）在该抛物线上，

∴当x=m时，n=am2+bm+c，因此am2+bm+c≤a+b+c，

即：am2+bm≤a+b，故⑤正确． 综上所述，正确的结论有①②③④⑤，共5个， 故选：A．

【点睛】

本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的*质．理解抛物线的位置与系数a、b、c之间的关系是得出正确*的关键．

知识点：二次函数的图象和*质

题型：选择题