如图,是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,抛物线的顶点坐标是A(1,3),与x轴的一个交点B...
问题详情:
如图,是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,抛物线的顶点坐标是A(1,3),与x轴的一个交点B(4,0),直线y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A,B两点,下列结论:①2a+b=0;m+n=3;②抛物线与x轴的另一个交点是(﹣1,0);③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根;④当1x4时,有y2y1;⑤若ax12+bx1=ax22+bx2,且x1≠x2,则x1+x2=1.正确的为( )
A.①④⑤ B.①③④ C.①③⑤ D.①②③
【回答】
B
【分析】
①根据对称轴方程x=﹣=1,可得2a+b=0是正确的,将点A代入到直线y2=mx+n(m≠0)可得m+n=3,
②根据轴对称的*质,由点B(4,0)关于直线x=1的对称点坐标为(﹣2,0)来判断;
③由直线y=3过抛物线y=ax2+bx+c的顶点A(1,3)可判断方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根;
④根据函数的图像来回答即可;
⑤将ax12+bx1=ax22+bx2两边同时加上c,即ax12+bx1+c=ax22+bx2+c,即y1=y2,可得关于对称轴对称,可得.
【详解】
解:①∵对称轴x=﹣=1,则2a+b=0,
将点A(1,3)、B(4,0)代入直线AB的表达式: ,
解,得,
∴m+n=3,
故①正确,符合题意;
②∵对称轴为直线x=1,
∴点B(4,0)关于对称轴直线x=1的对称点为(﹣2,0),
故②错误,不符合题意;
③如图,∵直线y=3过抛物线顶点 A(1,3),
∴抛物线y=ax2+bx+c直线y=3只有一个公共点;
∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根,
故③正确,符合题意;
④当1<x<4时,由图象可知y2<y1,故④正确,符合题意;
⑤若ax12+bx1=ax22+bx2,即ax12+bx1+c=ax22+bx2+c,即y1=y2,
∴关于对称轴对称
∴(x1+x2)=1,
故⑤错误,不符合题意;
故选:B.
【点睛】
本题为二次函数综合题,考查了二次函数图象*质和从函数的观点看待方程和不等式,解答关键是数形结合.
知识点:二次函数单元测试
题型:选择题
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