如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象,其顶点是(1,n),且与x的一个交点在点(3,0)和(4...
问题详情:
如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象,其顶点是(1,n),且与x的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间,则下列结论:①a-b+c>0;②3a+b=0;③b2=4a(c-n);④一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不等的实数根.其中正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【回答】
C
【分析】
利用抛物线的对称*得到抛物线与x轴的另一个交点在点(-2,0)和(-1,0)之间,则当x=-1时,y>0,于是可对①进行判断;利用抛物线的对称轴为直线x=-=1,即b=-2a,则可对②进行判断;利用抛物线的顶点的纵坐标为n得到=n,则可对③进行判断;由于抛物线与直线y=n有一个公共点,则抛物线与直线y=n-1有2个公共点,于是可对④进行判断.
【详解】
∵抛物线与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间,而抛物线的对称轴为直线x=1,
∴抛物线与x轴的另一个交点在点(-2,0)和(-1,0)之间.
∴当x=-1时,y>0,
即a-b+c>0,所以①正确;
∵抛物线的对称轴为直线x=-=1,即b=-2a,
∴3a+b=3a-2a=a,所以②错误;
∵抛物线的顶点坐标为(1,n),
∴=n,
∴b2=4ac-4an=4a(c-n),所以③正确;
∵抛物线与直线y=n有一个公共点,
∴抛物线与直线y=n-1有2个公共点,
∴一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根,所以④正确.
故选C.
【点睛】
本题考查了二次函数图像与系数的关系,熟练掌握二次函数*质是解题的关键.
知识点:二次函数的图象和*质
题型:选择题
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