如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与直线y=x+1相交于A(﹣1,0),B(4,m)两点,且抛物线经过...
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如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与直线y=x+1相交于A(﹣1,0),B(4,m)两点,且抛物线经过点C(5,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是抛物线上的一个动点(不与点A、点B重合),过点P作直线PD⊥x轴于点D,交直线AB于点E.
①当PE=2ED时,求P点坐标;
②是否存在点P使△BEC为等腰三角形?若存在请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
【考点】HF:二次函数综合题.
【分析】(1)由直线解析式可求得B点坐标,由A、B、C三点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;
(2)①可设出P点坐标,则可表示出E、D的坐标,从而可表示出PE和ED的长,由条件可知到关于P点坐标的方程,则可求得P点坐标;②由E、B、C三点坐标可表示出BE、CE和BC的长,由等腰三角形的*质可得到关于E点坐标的方程,可求得E点坐标,则可求得P点坐标.
【解答】解:
(1)∵点B(4,m)在直线y=x+1上,
∴m=4+1=5,
∴B(4,5),
把A、B、C三点坐标代入抛物线解析式可得,解得,
∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x+5;
(2)①设P(x,﹣x2+4x+5),则E(x,x+1),D(x,0),
则PE=|﹣x2+4x+5﹣(x+1)|=|﹣x2+3x+4|,DE=|x+1|,
∵PE=2ED,
∴|﹣x2+3x+4|=2|x+1|,
当﹣x2+3x+4=2(x+1)时,解得x=﹣1或x=2,但当x=﹣1时,P与A重合不合题意,舍去,
∴P(2,9);
当﹣x2+3x+4=﹣2(x+1)时,解得x=﹣1或x=6,但当x=﹣1时,P与A重合不合题意,舍去,
∴P(6,﹣7);
综上可知P点坐标为(2,9)或(6,﹣7);
②设P(x,﹣x2+4x+5),则E(x,x+1),且B(4,5),C(5,0),
∴BE==|x﹣4|,CE==,BC==,
当△BEC为等腰三角形时,则有BE=CE、BE=BC或CE=BC三种情况,
当BE=CE时,则|x﹣4|=,解得x=,此时P点坐标为(,);
当BE=BC时,则|x﹣4|=,解得x=4+或x=4﹣,此时P点坐标为(4+,﹣4﹣8)或(4﹣,4﹣8);
当CE=BC时,则=,解得x=0或x=4,当x=4时E点与B点重合,不合题意,舍去,此时P点坐标为(0,5);
综上可知存在满足条件的点P,其坐标为(,)或(4+,﹣4﹣8)或(4﹣,4﹣8)或(0,5).
知识点:各地中考
题型:综合题
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