如图，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；(1) 求抛物线的解析式（用...

问题详情：

如图，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；

(1)  求抛物线的解析式（用一般式表示）；

(2)  点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC=S△ABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；

(3)  将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长.

【回答】

解：

(1)  ∵抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），

∴，解得，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；

(2)  由题意可知C（0，2），A（﹣1，0），B（4，0），

∴AB=5，OC=2，

∴S△ABC=ABOC=×5×2=5，

∵S△ABC=S△ABD，

∴S△ABD=×5=，

设D（x，y），

∴AB|y|=×5|y|=，解得|y|=3，

当y=3时，由﹣x2+x+2=3，解得x=1或x=2，此时D点坐标为（1，3）或（2，3）；

当y=﹣3时，由﹣x2+x+2=﹣3，解得x=﹣2（舍去）或x=5，此时D点坐标为（5，﹣3）；

综上可知存在满足条件的点D，其坐标为（1，3）或（2，3）或（5，﹣3）；

(3)  ∵AO=1，OC=2，OB=4，AB=5，

∴AC==，BC==2，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC为直角三角形，即BC⊥AC，

如图，设直线AC与直线BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，

由题意可知∠FBC=45°，

∴∠CFB=45°，

∴CF=BC=2，

∴=，即=，解得OM=2， =，即=，解得FM=6，

∴F（2，6），且B（4，0），

设直线BE解析式为y=kx+m，则可得，解得，

∴直线BE解析式为y=﹣3x+12，

联立直线BE和抛物线解析式可得，解得或，

∴E（5，﹣3），

∴BE==．

知识点：二次函数的图象和*质

题型：解答题