如图1,抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A(﹣1,0)和点B(3,0).(1)求该抛物线所对应的函数解析式...
问题详情:
如图1,抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A(﹣1,0)和点B(3,0).
(1)求该抛物线所对应的函数解析式;
(2)如图2,该抛物线与y轴交于点C,顶点为F,点D(2,3)在该抛物线上.
①求四边形ACFD的面积;
②点P是线段AB上的动点(点P不与点A、B重合),过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q,连接AQ、DQ,当△AQD是直角三角形时,求出所有满足条件的点Q的坐标.
【回答】
解:
(1)由题意可得,解得,
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3;
(2)①∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴F(1,4),
∵C(0,3),D(2,3),
∴CD=2,且CD∥x轴,
∵A(﹣1,0),
∴S四边形ACFD=S△ACD+S△FCD=×2×3+×2×(4﹣3)=4;
②∵点P在线段AB上,
∴∠DAQ不可能为直角,
∴当△AQD为直角三角形时,有∠ADQ=90°或∠AQD=90°,
i.当∠ADQ=90°时,则DQ⊥AD,
∵A(﹣1,0),D(2,3),
∴直线AD解析式为y=x+1,
∴可设直线DQ解析式为y=﹣x+b′,
把D(2,3)代入可求得b′=5,
∴直线DQ解析式为y=﹣x+5,
联立直线DQ和抛物线解析式可得,解得或,
∴Q(1,4);
ii.当∠AQD=90°时,设Q(t,﹣t2+2t+3),
设直线AQ的解析式为y=k1x+b1,
把A、Q坐标代入可得,解得k1=﹣(t﹣3),
设直线DQ解析式为y=k2x+b2,同理可求得k2=﹣t,
∵AQ⊥DQ,
∴k1k2=﹣1,即t(t﹣3)=﹣1,解得t=,
当t=时,﹣t2+2t+3=,[来源:学.科.网]
当t=时,﹣t2+2t+3=,
∴Q点坐标为(,)或(,);
综上可知Q点坐标为(1,4)或(,)或(,).
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:综合题
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