如图，对称轴为直线x=1的抛物线y=x2﹣bx+c与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，...

问题详情：

如图，对称轴为直线x=1的抛物线y=x2﹣bx+c与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于C点，且+=﹣．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线顶点为D，直线BD交y轴于E点；

①设点P为线段BD上一点（点P不与B、D两点重合），过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F，求△BDF面积的最大值；

②在线段BD上是否存在点Q，使得∠BDC=∠QCE？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【回答】

解：（1）∵抛物线对称轴为直线x=1

∴﹣

∴b=2

由一元二次方程根与系数关系：

x1+x2=﹣，x1x2=

∴+==﹣

∴﹣

则c=﹣3

∴抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3

（2）由（1）点D坐标为（1，﹣4）

当y=0时，x2﹣2x﹣3=0

解得x1=﹣1，x2=3

∴点B坐标为（3，0）

①设点F坐标为（a，b）

∴△BDF的面积S=×（4﹣b）（a﹣1）+（﹣b）（3﹣a）﹣×2×4

整理的S=2a﹣b﹣6

∵b=a2﹣2a﹣3

∴S=2a﹣（a2﹣2a﹣3）﹣6=﹣a2+4a﹣3

∵a=﹣1＜0

∴当a=2时，S最大=﹣4+8﹣3=1

②存在

由已知点D坐标为（1，﹣4），点B坐标为（3，0）

∴直线BD解析式为：y=2x﹣6

则点E坐标为（0，﹣6）

连BC、CD，则由勾股定理

CB2=（3﹣0）2+（﹣3﹣0）2=18

CD2=12+（﹣4+3）2=2

BD2=（﹣4）2+（3﹣1）2=20

∴CB2+CD2=BD2

∴∠BDC=90°

∵∠BDC=∠QCE

∴∠QCE=90°

∴点Q纵坐标为﹣3

代入﹣3=2x﹣6

∴x=

∴存在点Q坐标为（，﹣3）

知识点：各地中考

题型：综合题