如图,以x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A,点B(﹣1,0),与y轴交于点C(0,...
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如图,以x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A,点B(﹣1,0),与y轴交于点C(0,4),作直线AC.
(1)求抛物线解析式;
(2)点P在抛物线的对称轴上,且到直线AC和x轴的距离相等,设点P的纵坐标为m,求m的值;
(3)点M在y轴上且位于点C上方,点N在直线AC上,点Q为第一象限内抛物线上一点,若以点C、M、N、Q为顶点的四边形是菱形,请直接写出点Q的坐标.
【回答】
【解答】解:(1)∵点A与点B(﹣1,0)关于直线x=1对称,
∴A(3,0),
设抛物线解析式为y=a(x+1)(x﹣3),
把C(0,4)代入得a•1•(﹣3)=4,解得a=﹣,
∴抛物线解析式为y=﹣(x+1)(x﹣3),即y=﹣x2+x+4;
(2)设直线AC的解析式为y=kx+p,
把A(3,0),C(0,4)代入得,解得,
∴直线AC的解析式为y=﹣x+4;
令对称轴与直线AC交于点D,与x轴交于点E,作PH⊥AD于H,如图1,
当x=1时,y=﹣x+4=,则D(1,),
∴DE=,
在Rt△ADE中,AD==,
设P(1,m),则PD=﹣m,PH=PE=|m|,
∵∠PDH=∠ADE,
∴△DPH∽△DAE,
∴=,即=,解得m=1或m=﹣4,
即m的值为1或﹣4;
(3)设Q(t,﹣t2+t+4)(0<t<4),
当CM为对角线时,四边形CQMN为菱形,如图2,则点N和Q关于y轴对称,
∴N(﹣t,﹣t2+t+4),
把N(﹣t,﹣t2+t+4)代入y=﹣x+4得t+4=﹣t2+t+4,解得t1=0(舍去),t2=1,此时Q点坐标为(1,);
当CM为菱形的边时,四边形CNQM为菱形,如图3,则NQ∥y轴,NQ=NC,
∴N(t,﹣t+4),
∴NQ=﹣t2+t+4﹣(﹣t+4)=﹣t2+4t,
而CN2=t2+(﹣t+4﹣4)2=t2,即CN=t,
∴﹣t2+4t=t,解得t1=0(舍去),t2=,此时Q点坐标为(,),
综上所述,点Q的坐标为(1,)或(,).
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:解答题
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