如图,抛物线y=ax2﹣x﹣2(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,已知B点坐标为(4,0)....
问题详情:
如图,抛物线y=ax2﹣x﹣2(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,已知B点坐标为(4,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)试探究△ABC的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标;
(3)若点M是线段BC下方的抛物线上一点,求△MBC的面积的最大值,并求出此时M点的坐标.
【回答】
【考点】二次函数综合题.
【分析】方法一:
(1)该函数解析式只有一个待定系数,只需将B点坐标代入解析式中即可.
(2)首先根据抛物线的解析式确定A点坐标,然后通过*△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置,由此确定圆心坐标.
(3)△MBC的面积可由S△MBC=BC×h表示,若要它的面积最大,需要使h取最大值,即点M到直线BC的距离最大,若设一条平行于BC的直线,那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时,该交点就是点M.
方法二:
(1)略.
(2)通过求出A,B,C三点坐标,利用勾股定理或利用斜率垂直公式可求出AC⊥BC,从而求出圆心坐标.
(3)利用三角形面积公式,过M点作x轴垂线,水平底与铅垂高乘积的一半,得出△MBC的面积函数,从而求出M点.
【解答】方法一:
解:(1)将B(4,0)代入抛物线的解析式中,得:
0=16a﹣×4﹣2,即:a=;
∴抛物线的解析式为:y=x2﹣x﹣2.
(2)由(1)的函数解析式可求得:A(﹣1,0)、C(0,﹣2);
∴OA=1,OC=2,OB=4,
即:OC2=OA•OB,又:OC⊥AB,
∴△OAC∽△OCB,得:∠OCA=∠OBC;
∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°,
∴△ABC为直角三角形,AB为△ABC外接圆的直径;
所以该外接圆的圆心为AB的中点,且坐标为:(,0).
(3)已求得:B(4,0)、C(0,﹣2),可得直线BC的解析式为:y=x﹣2;
设直线l∥BC,则该直线的解析式可表示为:y=x+b,当直线l与抛物线只有一个交点时,可列方程:
x+b=x2﹣x﹣2,即: x2﹣2x﹣2﹣b=0,且△=0;
∴4﹣4×(﹣2﹣b)=0,即b=﹣4;
∴直线l:y=x﹣4.
所以点M即直线l和抛物线的唯一交点,有:
,
解得:
即 M(2,﹣3).
过M点作MN⊥x轴于N,
S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×(2+3)+×2×3﹣×2×4=4.
方法二:
(1)略.
(2)∵y=(x﹣4)(x+1),
∴A(﹣1,0),B(4,0).C(0,﹣2),
∴KAC==﹣2,KBC==,
∴KAC×KBC=﹣1,∴AC⊥BC,
∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形,△ABC的外接圆的圆心是AB的中点,△ABC的外接圆的圆心坐标为(,0).
(3)过点M作x轴的垂线交BC′于H,
∵B(4,0),C(0,﹣2),
∴lBC:y=x﹣2,
设H(t, t﹣2),M(t, t2﹣t﹣2),
∴S△MBC=×(HY﹣MY)(BX﹣CX)=×(t﹣2﹣t2+t+2)(4﹣0)=﹣t2+4t,
∴当t=2时,S有最大值4,
∴M(2,﹣3).
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:综合题
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