如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,B点坐标为(4,0),与y轴交于点C(0,4).(1)求抛...
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如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,B点坐标为(4,0),与y轴交于点C(0,4).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P在x轴下方的抛物线上,过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E,与y轴交于点F,求PE+EF的最大值;
(3)点D为抛物线对称轴上一点.
①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时,直接写出点D的坐标;
②若△BCD是锐角三角形,直接写出点D的纵坐标n的取值范围.
【回答】
(1)把B(4,0),C(0,4)代入y=x2+bx+c,得
,
解得 ,
∴抛物线的解析式为y=x2﹣5x+4;
(2)由B(4,0),C(0,4),根据待定系数法易得BC的解析式为y=﹣x+4,
∵直线y=x+m与直线y=x平行,
∴直线y=﹣x+4与直线y=x+m垂直,
∴∠CEF=90°,
∴△ECF为等腰直角三角形,
作PH⊥y轴于H,PG∥y轴交BC于G,如图1,△EPG为等腰直角三角形,PE=PG,
设P(t,t2﹣5t+4)(1<t<4),则G(t,﹣t+4),
∴PF=PH=t,PG=﹣t+4﹣(t2﹣5t+4)=﹣t2+4t,
∴PE=PG=﹣t2+2t,
∴PE+EF=PE+PE+PF=2PE+PF=﹣t2+4t+t=﹣t2+5t=﹣(t﹣)2+,
当t=时,PE+EF的最大值为;
(3)①如图2,抛物线的对称轴为直线x=,
设D(,y),则BC2=42+42=32,DC2=()2+(y﹣4)2,BD2=(4﹣)2+y2=+y2,
当△BCD是以BC为直角边,BD为斜边的直角三角形时,BC2+DC2=BD2,
即32+()2+(y﹣4)2=+y2,解得y=5,此时D点坐标为(,);
当△BCD是以BC为直角边,CD为斜边的直角三角形时,BC2+DB2=DC2,
即32++y2=()2+(y﹣4)2,解得y=﹣1,此时D点坐标为(,﹣);
综上所述,符合条件的点D的坐标是(,)或(,﹣);
②当△BCD是以BC为斜边的直角三角形时,DC2+DB2=BC2,即()2+(y﹣4)2++y2=32,解得y1=,y2=,此时D点坐标为(,)或(,),
所以△BCD是锐角三角形,点D的纵坐标的取值范围为<y<或﹣<y<.
知识点:各地中考
题型:综合题
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