如图,O是坐标原点,过点A(﹣1,0)的抛物线y=x2﹣bx﹣3与x轴的另一个交点为B,与y轴交于点C,其顶点...
问题详情:
如图,O是坐标原点,过点A(﹣1,0)的抛物线y=x2﹣bx﹣3与x轴的另一个交点为B,与y轴交于点C,其顶点为D点.
(1)求b的值以及点D的坐标;
(2)连接BC、BD、CD,在x轴上是否存在点P,使得以A、C、P为顶点的三角形与△BCD相似.若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;
(3)动点Q的坐标为(m,1).
①当△BCQ是以BC为直角边的直角三角形时,求m的值;
②连接OQ、CQ,求△CQO的外接圆半径的最小值,并求出此时点Q的坐标.
【回答】
【解答】解:(1)把A(﹣1,0)代入y=x2﹣bx﹣3,得
1+b﹣3=0,
解得b=2.
y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
∴D(1,﹣4).
(2)如图1,
当y=0时,x2﹣2x﹣3=0,解得x1=﹣1,x2=3,即A(﹣1,0),B(3,0),D(1,﹣4).
由勾股定理,得
BC2=18,CD2=1+1=2,BD2=22+16=20,
BC2+CD2=BD2,∠BCD=90°,
①当△APC△DCB时, =,即=,解得AP=1,即P(0,0);
②当△ACP∽△DCB时, =,即=,解得AP=10,即P′(9,0),
综上所述:点P的坐标(0,0)(9,0);
(3)①如图2,当x=0时,y=﹣3,即C(0,﹣3).
又∵B(3,0),
∴当∠QBC=90°,由BC2+BQ2=CQ2得到:32+(﹣3)2+(m﹣3)2+12=(m﹣0)2+(1+3)2,
解得m=2;
当∠QCB=90°,由BC2+CQ2=BQ2得到:32+(﹣3)2+(m﹣0)2+(1+3)2=(m﹣3)2+12,
解得m=4;
综上所述,m的值为2或4;
②如图3,
记△OQC的外心为M,则M在OC的垂直平分线MN上(MN与y轴交与点N).
∵当MQ取最小值时,
⊙M与直线y=1相切,
MQ=FN=OM=2.5,
MN===2,
FQ=MN=2,
∴Q(2,1).
根据题意知,(﹣2,1)也满足题意,
综上所述,Q的坐标是(2,1)或Q(﹣2,1).
知识点:相似三角形
题型:综合题
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