在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D．（...

问题详情：

在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P为直线CD上的一个动点，连接BC；

①如图1，是否存在点P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

②如图2，点P在x轴上方，连接PA交抛物线于点N，∠PAB＝∠BCO，点M在第三象限抛物线上，连接MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点M的坐标．

【回答】

（1）y＝x2+2x﹣3；（2）①存在，点P的坐标为（1，﹣2）或（﹣5，﹣8）；②点M（﹣，﹣）

【解析】

（1）y＝ax2+bx﹣3＝a（x+3）（x﹣1），即可求解；

（2）①分点P（P′）在点C的右侧、点P在点C的左侧两种情况，分别求解即可；

②*△AGR≌△RHM（AAS），则点M（m+n，n﹣m﹣3），利用点M在抛物线上和AR＝NR，列出等式即可求解．

【详解】

解：（1）y＝ax2+bx﹣3＝a（x+3）（x﹣1），

解得：a＝1，

故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3①；

（2）由抛物线的表达式知，点C、D的坐标分别为（0，﹣3）、（﹣1，﹣4），

由点C、D的坐标知，直线CD的表达式为：y＝x﹣3；

tan∠BCO＝，则cos∠BCO＝；

①当点P（P′）在点C的右侧时，

∵∠P′AB＝∠BCO，

故P′B∥y轴，则点P′（1，﹣2）；

当点P在点C的左侧时，

设直线PB交y轴于点H，过点H作HN⊥BC于点N，

∵∠PBC＝∠BCO，

∴△BCH为等腰三角形，则

BC＝2CH•cos∠BCO＝2×CH×＝，

解得：CH＝，则OH＝3﹣CH＝，故点H（0，﹣），

由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为：y＝x﹣②，

联立①②并解得：，

故点P的坐标为（1，﹣2）或（﹣5，﹣8）；

②∵∠PAB＝∠BCO，而tan∠BCO＝，

故设直线AP的表达式为：y＝，将点A的坐标代入上式并解得：s＝1，

故直线AP的表达式为：y＝x+1，

联立①③并解得：，故点N（，）；

设△AMN的外接圆为圆R，

当∠ANM＝45°时，则∠ARM＝90°，设圆心R的坐标为（m，n），

∵∠GRA+∠MRH＝90°，∠MRH+∠RMH＝90°，

∴∠RMH＝∠GAR，

∵AR＝MR，∠AGR＝∠RHM＝90°，

∴△AGR≌△RHM（AAS），

∴AG＝m+3＝RH，RG＝﹣n＝MH，

∴点M（m+n，n﹣m﹣3），

将点M的坐标代入抛物线表达式得：n﹣m﹣3＝（m+n）2+2（m+n）﹣3③，

由题意得：AR＝NR，即（m+3）2＝（m﹣）2+（）2④，

联立③④并解得：，

故点M（﹣，﹣）．

【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的*质、三角形全等、圆的基本知识等，其中（2）①，要注意分类求解，避免遗漏．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：解答题