在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2﹣2x+n与x轴的两个交点分别为A（﹣3，0）、B（1，0），过顶点C作C...

问题详情：

在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2﹣2x+n与x轴的两个交点分别为A（﹣3，0）、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H．

（1）求m、n的值和顶点C的纵坐标．

（2）在y轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；

（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标．

【回答】

【解答】解：（1）把A（﹣3，0）、B（1，0）分别代入y=mx2﹣2x+n，

，

解得：m=﹣1，n=3，

则该抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3，

因为y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，

所以顶点C的坐标为（﹣1，4）；

（2）如图1，过点C作CE⊥y轴于点E，

设D（0，c），则OD=c，

∵A（﹣3，0），C（﹣1，4），

∴CE=1，OA=3，OE=4，

假设在y轴上存在满足条件的点D，

由∠CDA=90°得∠1+∠2=90°，

又∵∠2+∠3=90°，

∴∠3=∠1，

又∵∠CED=∠DOA=90°，

∴△CED∽△DOA，

∴=，

设D（0，c），

则=，

变形，得c2﹣4c+3=0，解得c1=3，c2=1，

综合上述：在y轴上存在点D（0，3）或（0，1），使△ACD是以AC为斜边的直角三角形；

（3）①若点P在对称轴右侧（如图2），只能是△PCQ∽△CAH，得∠QCP=∠CAH，

延长CP交x轴于M，

∴AM=CM，

∴AM2=CM2．

设M（m，0），则（m+3）2=42+（m+1）2，

∴m=2，即M（2，0），

设直线CM的解析式为y=k1x+b1，

则，

解之得：k1=﹣，b1=，

∴直线CM的解析式y=﹣x+，

联立，

解得：或（舍去），

∴P（，）；

②若点P在对称轴左侧（如图3），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH．

过A作CA的垂线交PC于点F，作FN⊥x轴于点N，

由△CFA∽△CAH得： ==2，

由△FNA∽△AHC得： ===，

∴AN=2，FN=1，CH=4，HO=1，则AH=2，

∴点F坐标为（﹣5，1）．

设直线CF的解析式为y=k2x+b2，则，

解得：k2=，b2=，

∴直线CF的解析式y=x+，

联立，

解得或（舍去），

∴P（﹣，），

∴满足条件的点P坐标为（，）或（﹣，）．

知识点：相似三角形

题型：综合题