在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2﹣8mx+16m﹣1(m>0)与x轴的交点分别为A(x1,0),B(...
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在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2﹣8mx+16m﹣1(m>0)与x轴的交点分别为A(x1,0),B(x2,0).
(1)求*:抛物线总与x轴有两个不同的交点;
(2)若AB=2,求此抛物线的解析式.
(3)已知x轴上两点C(2,0),D(5,0),若抛物线y=mx2﹣8mx+16m﹣1(m>0)与线段CD有交点,请写出m的取值范围.
【回答】
【考点】抛物线与x轴的交点;待定系数法求二次函数解析式.
【专题】计算题.
【分析】(1)*△>0即可;
(2)利用抛物线与x轴的交点问题,则x1、x2为方程mx2﹣8mx+16m﹣1=0的两根,利用根与系数的关系得到x1+x2=8,x1•x2=,再变形|x1﹣x2|=2得到(x1+x2)2﹣4x1•x2=4,所以82﹣4•=4,然后解出m即可得到抛物线解析式;
(3)先求出抛物线的对称轴为直线x=4,利用函数图象,由于抛物线开口向上,则只要当x=2,y≥0时,抛物线与线段CD有交点,于是得到4m﹣16m+16m﹣1≥0,然后解不等式即可.
【解答】(1)*:△=64m2﹣4m•(16m﹣1)
=4m,
∵m>0,
∴△>0,
∴抛物线总与x轴有两个不同的交点;
(2)根据题意,x1、x2为方程mx2﹣8mx+16m﹣1=0的两根,
∴x1+x2=﹣=8,x1•x2=,
∵|x1﹣x2|=2,
∴(x1+x2)2﹣4x1•x2=4,
∴82﹣4•=4,
∴m=1,
∴抛物线的解析式为y=x2﹣8x+15;
(3)抛物线的对称轴为直线x=﹣=4,
∵抛物线开口向上,
∴当x=2,y≥0时,抛物线与线段CD有交点,
∴4m﹣16m+16m﹣1≥0,
∴m≥.
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点:把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.也考查了根与系数的关系.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:解答题
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