如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（﹣3，），与x轴交于A...

问题详情：

如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（﹣3，），与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧）与y轴交于点C，D为BO的中点，直线DC解析式为y=kx+4（k≠0）

（1）求抛物线的解析式和直线CD的解析式．

（2）点P是抛物线第二象限部分上使得△PDC面积最大的一点，点E为DO的中点，F是线段DC上任意一点（不含端点）．连接EF，一动点M从点E出发沿线段EF以每秒1个单位长度的速度运动到F点，在沿线段FC以每秒个单位长度的速度运动到C点停止．当点M在整个运动中同时最少为t秒时，求线段PF的长及t值．

（3）如图2，直线DN：y=mx+2（m≠0）经过点D，交y轴于点N，点R是已知抛物线上一动点，过点R作直线DN的垂线RH，垂足为H，直线RH交x轴与点Q，当∠DRH=∠ACO时，求点Q的坐标．

【回答】

．解：（1）由题意抛物线顶点（﹣3，），点C坐标（0，4），

设抛物线解析式y=a（x+3）2+，把点C（0，4）代入得a=﹣，

所以抛物线为y=﹣（x+3）2+=﹣x2﹣x+4，

令y=0，得x2+6x﹣16=0，x=﹣8或2，所以点B（﹣8，0），点A（2，0），D（﹣4，0）

把点D（﹣4，0）代入y=kx+4中得k=1，所以直线CD解析式为y=x+4．

（2）如图1中，过点C作y轴的垂线，过点E作x轴的垂线两线交于点M，EM与CD交于点F，

此时点F就是所求的点，时间最短．

∵OC=OD=4，

∴∠DCO=45°，

∴∠MCF=90°﹣∠DCO=45°，

∵∠MCO=∠MEO=∠EOC=90°，

∴四边形MEOC是矩形，

∴∠EMC=90°，

∴∠MFC=∠MCF=45°，∴FC=FM，

∵t=EF+=EF+FM，∴EM⊥CM时，时间最短，∴t=4秒．

设点P（m，﹣﹣m+4），

∵S△PCD=S△PDO+S△PCO﹣S△DCO=×﹣8=﹣m2﹣5m，

∴m=﹣5时，△PCD面积最大，此时P（﹣5，），∵点F（﹣2，2），

∴PF==，

（3）如图2中，①当∠DR1H1=∠DR2H2=∠ACO，

∵点N（0，2），D（﹣4，0），C（0，4），A（2，0），

∴直线DN为y=x+2，直线AC为y=﹣2x+4，∴K1K2=﹣1，

∴AC⊥DN，

∴∠ACO=∠ODN，

∴∠DNO=∠OAC，

∵∠DR1H1=∠DR2H2=∠ACO，

∴∠MDN=∠MND，

∴MN=DM，设OM=x，则（x+2）2=x2+42解得x=3，

∴点M（0，﹣3），直线DM为y=﹣x﹣3，

由解得，∴R1（﹣7，），R2（4，﹣6），

∴直线R1H1为y=﹣2x﹣，此时Q1（﹣，0），直线R2H2为y=﹣2x+2，此时Q2（1.0），

②当∠DR3H3=∠ACO时，∵R3Q3⊥DC，AC⊥DC，∴∠R3DH3=∠CNK，∴DR3∥OC，

∴R3（﹣4，6），直线R3Q3为y=﹣2x﹣2，∴Q3（﹣1，0）．

综上所述满足条件的点Q的坐标为Q1（﹣，0），Q2（1.0），Q3（﹣1，0）．

知识点：二次函数单元测试

题型：综合题