如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C(0...
问题详情:
如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C(0,﹣2),OB=4OA,tan∠BCO=2.
(1)求A、B两点的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)点M、N分别是线段BC、AB上的动点,点M从点B出发以每秒个单位的速度向点C运动,同时点N从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动,当点M、N中的一点到达终点时,两点同时停止运动.过点M作MP⊥x轴于点E,交抛物线于点P.设点M、点N的运动时间为t(s),当t为多少时,△PNE是等腰三角形?
【回答】
(1)A(﹣1,0);(2)y=x2﹣x﹣2;(3)当t=1时,△PNE是等腰三角形.
【解析】
(1)由C(0,﹣2)知OC=2,根据tan∠BCO==2得OB=4,据此得出点B坐标,再由OB=4OA可得点A坐标;
(2)将点A、B坐标代入抛物线解析式求得a、b的值,从而得出*;
(3)由题意知AN=2t、BM=t,根据tan∠BME=tan∠BCO=2知=,求得OE=OB﹣BE=4﹣t,从而得出PE=﹣(4﹣t)2+(4﹣t)+2,再分点N在点E左侧和右侧两种情况,表示出NE的长,利用NE=PE列方程求解可得*.
【详解】
(1)∵C(0,﹣2),
∴OC=2,
由tan∠BCO==2得OB=4,
则点B(4,0),
∵OB=4OA,
∴OA=1,
则A(﹣1,0);
(2)将点A(﹣1,0)、B(4,0)代入y=ax2+bx﹣2,
得:,
解得:,
∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣2;
(3)设点M、点N的运动时间为t(s),则AN=2t、BM=t,
∵PE⊥x轴,
∴PE∥OC,
∴∠BME=∠BCO,
则tan∠BME=tan∠BCO,即=2,
∴=,即 =,
则BE=t,
∴OE=OB﹣BE=4﹣t,
①点N在点E左侧时,即﹣1+2t<4﹣t,解得t< ,
此时NE=AO+OE﹣AN=1+4﹣t﹣2t=5﹣3t,
∵△PNE是等腰三角形,
∴PE=NE,
即﹣(4﹣t)2+(4﹣t)+2=5﹣3t,
整理,得:t2﹣11t+10=0,
解得:t=1或t=10>(舍);
②当点N在点E右侧时,即﹣1+2t>4﹣t,解得t>,
又且2t≤5,
∴<t≤ ,
此时NE=AN﹣AO﹣OE=2t﹣1﹣(4﹣t)=3t﹣5,
由PE=NE得﹣(4﹣t)2+(4﹣t)+2=3t﹣5,
整理,得:t2+t﹣10=0,
解得:t=<0,舍去;或t=>,舍去;
综上,当t=1时,△PNE是等腰三角形.
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合问题,解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式及三角函数的应用、等腰三角形的*质等知识点.
知识点:二次函数单元测试
题型:解答题
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