如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A，C...

问题详情：

如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．

（1）求抛物线的解析式及点B坐标；

（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值；

（3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．

【回答】

解：（1）当y=0时，﹣3x﹣3=0，x=﹣1

∴A（﹣1，0）

当x=0时，y=﹣3，

∴C（0，﹣3），

∴

∴，

抛物线的解析式是：y=x2﹣2x﹣3．

当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，

解得：x1=﹣1，x2=3

∴B（3，0）．

（2）由（1）知B（3，0），C（0，﹣3）直线BC的解析式是：y=x﹣3，

设M（x，x﹣3）（0≤x≤3），则E（x，x2﹣2x﹣3）

∴ME=（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣）2+；

∴当x=时，ME的最大值为．

（3）答：不存在．

由（2）知ME取最大值时ME=，E（，﹣），M（，﹣）

∴MF=，BF=OB﹣OF=．

设在抛物线x轴下方存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形，

则BP∥MF，BF∥PM．

∴P1（0，﹣）或P2（3，﹣）

当P1（0，﹣）时，由（1）知y=x2﹣2x﹣3=﹣3≠﹣

∴P1不在抛物线上．

当P2（3，﹣）时，由（1）知y=x2﹣2x﹣3=0≠﹣

∴P2不在抛物线上．

综上所述：在x轴下方抛物线上不存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：综合题