如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(﹣1,0)B(3,0)两点,与y轴交于点C,...
问题详情:
如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(﹣1,0)B(3,0)两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式;
(2)请在y轴上找一点M,使△BDM的周长最小,求出点M的坐标;
(3)试探究:在拋物线上是否存在点P,使以点A,P,C为顶点,AC为直角边的三角形是直角三角形?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
(1)抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3;直线AC的解析式为y=3x+3;(2)点M的坐标为(0,3);
(3)符合条件的点P的坐标为(,)或(,﹣),
【解析】
分析:(1)设交点式y=a(x+1)(x-3),展开得到-2a=2,然后求出a即可得到抛物线解析式;再确定C(0,3),然后利用待定系数法求直线AC的解析式;
(2)利用二次函数的*质确定D的坐标为(1,4),作B点关于y轴的对称点B′,连接DB′交y轴于M,如图1,则B′(-3,0),利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小,则此时△BDM的周长最小,然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标;
(3)过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P,如图2,利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-x+b,把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-x+3,再解方程组得此时P点坐标;当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时,利用同样的方法可求出此时P点坐标.
详解:(1)设抛物线解析式为y=a(x+1)(x﹣3),
即y=ax2﹣2ax﹣3a,
∴﹣2a=2,解得a=﹣1,
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3;
当x=0时,y=﹣x2+2x+3=3,则C(0,3),
设直线AC的解析式为y=px+q,
把A(﹣1,0),C(0,3)代入得,解得,
∴直线AC的解析式为y=3x+3;
(2)∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴顶点D的坐标为(1,4),
作B点关于y轴的对称点B′,连接DB′交y轴于M,如图1,则B′(﹣3,0),
∵MB=MB′,
∴MB+MD=MB′+MD=DB′,此时MB+MD的值最小,
而BD的值不变,
∴此时△BDM的周长最小,
易得直线DB′的解析式为y=x+3,
当x=0时,y=x+3=3,
∴点M的坐标为(0,3);
(3)存在.
过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P,如图2,
∵直线AC的解析式为y=3x+3,
∴直线PC的解析式可设为y=﹣x+b,
把C(0,3)代入得b=3,
∴直线PC的解析式为y=﹣x+3,
解方程组,解得或,则此时P点坐标为(,);
过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P,直线PC的解析式可设为y=﹣x+b,
把A(﹣1,0)代入得+b=0,解得b=﹣,
∴直线PC的解析式为y=﹣x﹣,
解方程组,解得或,则此时P点坐标为(,﹣).
综上所述,符合条件的点P的坐标为(,)或(,﹣).
点睛:本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的*质;会利用待定系数法求函数解析式,理解两直线垂直时一次项系数的关系,通过解方程组求把两函数的交点坐标;理解坐标与图形*质,会运用两点之间线段最短解决最短路径问题;会运用分类讨论的思想解决数学问题.
知识点:二次函数单元测试
题型:解答题
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