如图①，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－5与x轴交于A(－1，0)，B(5，0)两点，与y轴交...

问题详情：

如图①，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－5与x轴交于A(－1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点C.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与

△ABC相似，求点D的坐标；

(3)如图②，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积．

【回答】

解：(1)∵抛物线过点A(－1，0)和点B(5，0)，

∴，　解得，

∴抛物线的函数表达式为y＝x2－4x－5；

(2)∵OB＝OC＝5，

∴∠ABC＝∠OCB＝45°，

∴以B、C、D三点为顶点的三角形要与△ABC相似，必须要有一个角等于45°.

(ⅰ)当点D在点C的下方时，∠BCD＝180°－45°＝135°，

∴不会出现45°角，

∴此种情况不存在；

(ⅱ)当点D在点C的上方时，∠BCD＝45°，易得BC＝OB＝5，AB＝OA＋OB＝1＋5＝6，

存在两种情况：

①当△BCD∽△ABC时，＝，

即＝，

∴CD＝，

OD＝CD－OC＝－5＝，

∴D(0，)；

②当△DCB∽△ABC时，＝，

即＝，

∴CD＝6，

OD＝CD－OC＝6－5＝1，

∴点D(0，1)，

∴综上所述，点D的坐标为(0，1)或(0，)时，以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似；

(3)令y＝－5得x2－4x－5＝－5，

解得x1＝0，x2＝4，

∴E(4，－5)，

∴CE＝4，

设H(a，a2－4a－5)，点H是在直线CE下方抛物线上的动点，

∴0＜a＜4.

设直线BC的表达式为y＝kx＋b，

把点B(5，0)、C(0，－5)代入得

，解得，

∴直线BC的表达式为y＝x－5，

则点F(a，a－5)，

∴FH＝a－5－(a2－4a－5)＝－a2＋5a，

∵CE⊥FH，

∴S四边形CHEF＝CE×FH＝－2a2＋10a＝－2(a－)2＋，

∵0＜a＜4，

∴当a＝时，四边形CHEF面积有最大值，最大值是，

此时H(，－)．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：综合题