如图，在直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴，y轴分别交于点B，点C，对称轴为x＝1的抛物线过B，C两点，且交...

问题详情：

如图，在直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴，y轴分别交于点B，点C，对称轴为x＝1的抛物线过B，C两点，且交x轴于另一点A，连接AC．

（1）直接写出点A，点B，点C的坐标和抛物线的解析式；

（2）已知点P为第一象限内抛物线上一点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；

（3）抛物线上是否存在一点Q（点C除外），使以点Q，A，B为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【回答】

解：（1）y＝﹣x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝6，

故点B、C的坐标分别为（6，0）、（0，3），

抛物线的对称轴为x＝1，则点A（﹣4，0），

则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣6）（x+4）＝a（x2﹣2x﹣24），

即﹣24a＝3，解得：a＝﹣，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+3…①；

（2）过点P作y轴的平行线交BC于点G，作PH⊥BC于点H，

将点B、C坐标代入一次函数表达式并解得：

直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，

则∠HPG＝∠CBA＝α，tan∠CAB＝＝＝tanα，则cosα＝，

设点P（x，﹣ x2+x+3），则点G（x，﹣ x+3），

则PH＝PGcosα＝（﹣x2+x+3+x﹣3）＝﹣x2+x，

∵＜0，故PH有最小值，此时x＝3，

则点P（3，）；

（3）①当点Q在x轴上方时，

则点Q，A，B为顶点的三角形与△ABC全等，此时点Q与点C关于函数对称轴对称，

则点Q（2，3）；

②当点Q在x轴下方时，

Q，A，B为顶点的三角形与△ABC相似，则∠ACB＝∠Q′AB，

当∠ABC＝∠ABQ′时，

直线BC表达式的k值为﹣，则直线BQ′表达式的k值为，

设直线BQ′表达式为：y＝x+b，将点B的坐标代入上式并解得：

直线BQ′的表达式为：y＝x﹣3…②，

联立①②并解得：x＝6或﹣8（舍去6），

故点Q（Q′）坐标为（﹣8，﹣7）（舍去）；

当∠ABC＝∠ABQ′时

知识点：各地中考

题型：综合题