如图,在平面直角坐标系中,一抛物线的对称轴为直线,与y轴负半轴交于C点,与x轴交于A、B两点,其中B点的坐标为...
问题详情:
如图,在平面直角坐标系中,一抛物线的对称轴为直线,与y轴负半轴交于C点,与x轴交于A、B两点,其中B点的坐标为(3,0),且OB=OC.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若点G(2,y)是该抛物线上一点,点P是直线AG下方的抛物线上一动点,当点P运动到什么位置时,△APG的面积最大?求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.
(3)若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点(其中点M在点N的右侧),在x轴上是否存在点Q,使△MNQ为等腰直角三角形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
(1);(2)P点的坐标为,的最大值为;(3)Q(-,0)或(,0)或(,0)或(,0)或(1,0).
【解析】
试题分析:(1)设抛物线的解析式为,根据已知得到C(0,﹣3),A(﹣1,0),代入得到方程组,求出方程组的解即可;
(2)过点P作y轴的平行线与AG交于点F,求出点G的坐标(2,﹣3),设直线AG为,代入得到,求出方程组的解得出直线AG为,设P(x,),则F(x,﹣x﹣1),PF,根据三角形的面积公式求出△APG的面积,化成顶点式即可;
(3)存在.根据MN∥x轴,且M、N在抛物线上,得到M、N关于直线x=1对称,设点M为(m,)且m>1,得到MN=2(m﹣1),当∠QMN=90°,且MN=MQ时,由△MNQ为等腰直角三角形,得到,求出m的值,得出点M和点Q的坐标;当∠QNM=90°,且MN=NQ时,同理可求点Q的坐标,当∠NQM=90°,且MQ=NQ时,过Q作QE⊥MN于点E,则QE=MN,根据抛物线及等腰直角三角形的轴对称*,得到点Q的坐标.
试题解析:(1)设抛物线的解析式为,
由已知得:C(0,﹣3),A(﹣1,0),
∴,解得,
∴抛物线的解析式为;
(2)过点P作y轴的平行线与AG交于点Q,
由,令x=2,则y=-3,∴点G为(2,-3),
设直线AG为,∴,解得:,即直线AG为,
设P(x,),则F(x,-x-1),PF.
∵,
∴当时,△APG的面积最大,此时P点的坐标为,
(3)存在.
∵MN∥x轴,且M、N在抛物线上,∴M、N关于直线x=1对称,
设点M为(,)且,∴,
当∠QMN=90°,且MN=MQ时,△MNQ为等腰直角三角形,∴MQ⊥MN即MQ⊥x轴,
∴,即或,
解得,(舍)或,(舍),
∴点M为(,)或(,),∴点Q为(,0)或(,0),
当∠QNM=90°,且MN=NQ时,△MNQ为等腰直角三角形,同理可求点Q为(-,0)或(,0),
当∠NQM=90°,且MQ=NQ时,△MNQ为等腰直角三角形,
过Q作QE⊥MN于点E,则QE=MN,,
∵方程有解,∴由抛物线及等腰直角三角形的轴对称*知点Q为(1,0),
综上所述,满足存在满足条件的点Q,分别为(-,0)或(,0)或(,0)或(,0)或(1,0).
考点:1.二次函数综合题;2.等腰直角三角形.
知识点:二次函数单元测试
题型:解答题
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