如图1,在平面直角坐标系中,是坐标原点,抛物线与轴正半轴交于点,与轴交于点,连接,点分别是的中点.,且始终保持...
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如图1,在平面直角坐标系中,是坐标原点,抛物线与轴正半轴交于点,与轴交于点,连接,点分别是的中点.,且始终保持边经过点,边经过点,边与轴交于点,边与轴交于点.
(1)填空,的长是 ,的度数是 度
(2)如图2,当,连接
①求*:四边形是平行四边形;
②判断点是否在抛物线的对称轴上,并说明理由;
(3)如图3,当边经过点时(此时点与点重合),过点作,交延长线上于点,延长到点,使,过点作,在上取一点,使得(若在直线的同侧),连接,请直接写出的长.
【回答】
(1)8,30;(2)①详见解析;②点D在该抛物线的对称轴上,理由详见解析;(3)12 .
【解析】
试题分析:(1)根据抛物线的解析式求得点A的坐标为(8,0),点B的坐标为(0,8),即可得OA=8,根据锐角三角函数的定义即可求得=30°;(2)①由,根据平行线分线段成比例定理可得,又因OM=AM,可得OH=BH,再由BN=AN,根据三角形的中位线定理可得,即可判定四边形AMHN是平行四边形;②点D在该抛物线的对称轴上,如图,过点D作DRy轴于点R,由可得∠NHB=∠AOB=90°,由,可得∠DHB=∠OBA=30°,又因,根据全等三角形的*质可得∠HDG=∠OBA=30°,即可得∠HDN=∠HND,所以DH=HN=OA=4,在Rt△DHR中,DR=DH=,即可判定点D的横坐标为-2.又因抛物线的对称轴为直线,所以点D在该抛物线的对称轴上;
试题解析:(1)8,30;
(2)①*:∵,
∴,
又∵OM=AM,
∴OH=BH,
又∵BN=AN
∴
∴四边形AMHN是平行四边形
②点D在该抛物线的对称轴上,理由如下:
如图,过点D作DRy轴于点R,
∵
∴∠NHB=∠AOB=90°,
∵,
∴∠DHB=∠OBA=30°,
又∵
∴∠HDG=∠OBA=30°,
∴∠HDG=∠DHB=30°,
∴∠HGN=2∠HDG=60°,
∴∠HNG=90°-∠HGN=90°-60°=30°,
∴∠HDN=∠HND,
∴DH=HN=OA=4
在Rt△DHR中,DR=DH=,
∴点D的横坐标为-2.
又因抛物线的对称轴为直线,
∴点D在该抛物线的对称轴上.
(3)12 .
考点:二次函数综合题.
知识点:各地中考
题型:综合题
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