如图,在平面直角坐标系中,抛物线交轴于,两点,交轴于点,且,点是第三象限内抛物线上的一动点.(1)求此抛物线的...
问题详情:
如图,在平面直角坐标系中,抛物线交轴于,两点,交轴于点,且,点是第三象限内抛物线上的一动点.
(1)求此抛物线的表达式;
(2)若,求点的坐标;
(3)连接,求面积的最大值及此时点的坐标.
【回答】
(1);(2)(,);(3)面积的最大值是8;点的坐标为(,).
【解析】
(1)由二次函数的*质,求出点C的坐标,然后得到点A、点B的坐标,再求出解析式即可;
(2)由,则点P的纵坐标为,代入解析式,即可求出点P的坐标;
(3)先求出直线AC的解析式,过点P作PD∥y轴,交AC于点D,则,设点P为(,),则点D为(,),求出PD的长度,利用二次函数的*质,即可得到面积的最大值,再求出点P的坐标即可.
【详解】
解:(1)在抛物线中,
令,则,
∴点C的坐标为(0,),
∴OC=2,
∵,
∴,,
∴点A为(,0),点B为(,0),
则把点A、B代入解析式,得
,解得:,
∴;
(2)由题意,∵,点C为(0,),
∴点P的纵坐标为,
令,则,
解得:,,
∴点P的坐标为(,);
(3)设直线AC的解析式为,则
把点A、C代入,得
,解得:,
∴直线AC的解析式为;
过点P作PD∥y轴,交AC于点D,如图:
设点P 为(,),则点D为(,),
∴,
∵OA=4,
,
,
∴当时,取最大值8;
∴,
∴点P的坐标为(,).
【点睛】
本题考查了二次函数的综合问题,二次函数的*质,一次函数的*质,解题的关键是熟练掌握二次函数和一次函数的*质进行解题,注意利用数形结合的思想进行解题.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:解答题
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