在平面直角坐标系中,把与轴交点相同的二次函数图像称为“共根抛物线”.如图,抛物线的顶点为,交轴于点、(点在点左...
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在平面直角坐标系中,把与轴交点相同的二次函数图像称为“共根抛物线”.如图,抛物线的顶点为,交轴于点、(点在点左侧),交轴于点.抛物线与是“共根抛物线”,其顶点为.
(1)若抛物线经过点,求对应的函数表达式;
(2)当的值最大时,求点的坐标;
(3)设点是抛物线上的一个动点,且位于其对称轴的右侧.若与相似,求其“共根抛物线”的顶点的坐标.
【回答】
(1);(2)点;(3)或或或
【解析】
(1)由“共根抛物线”定义可知抛物线经过抛物线与x轴交点,故根据抛物线可求AB两点坐标进而由交点式设为,将点代入,即可求出解;
(2)由抛物线对称*可知PA=PB,∴,根据三角形两边之差小于第三边可知当当、、三点共线时,的值最大,而P点在对称轴为上,由此求出点P坐标;
(3)根据点ABC坐标可*△ABC为直角三角形,与相似,分两种情况讨论:当、时,分别利用对应边成比例求解即可.
【详解】
解:(1)当时,,解得,.
∴、、.
由题意得,设对应的函数表达式为,
又∵经过点,
∴,
∴.
∴对应的函数表达式为.
(2)∵、与轴交点均为、,
∴、的对称轴都是直线.
∴点在直线上.
∴.
如图1,当、、三点共线时,的值最大,
此时点为直线与直线的交点.
由、可求得,直线对应的函数表达式为.
∴点.
(3)由题意可得,,,,
因为在中,,故.
由,得顶点.
因为的顶点P在直线上,点Q在上,
∴不可能是直角.
第一种情况:当时,
①如图2,当时,则得.
设,则,
∴.
由得,解得.
∵时,点Q与点P重合,不符合题意,
∴舍去,此时.
②如图3,当时,则得.
设,则.
∴.
由得,解得(舍),此时.
第二种情况:当时,
①如图4,当时,则得.
过Q作交对称轴于点M,∴.
∴.由图2可知,
∴.
∴,又,代入得.
∵点,
∴点.
②如图5,当时,则.
过Q作交对称轴于点M,
∴,则.
由图3可知,,
∴,,
∴.
又,代入得.
∵点,
∴点,
综上所述,或或或.
【点睛】
本题是二次函数的综合题,关键是根据待定系数法求解析式,二次函数图象上点的坐标特征,以及相似三角形的*质解答.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:解答题
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