如图1,抛物线与轴交于点和点,与轴交于点,抛物线的顶点为轴于点．将抛物线平移后得到顶点为且对称轴为直的抛物线．...

问题详情：

如图1,抛物线与轴交于点和点,与轴交于点,抛物线的顶点为轴于点．将抛物线平移后得到顶点为且对称轴为直的抛物线．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图2,在直线上是否存在点,使是等腰三角形?若存在,请求出所有点的坐标:若不存在,请说明理由；

(3)点为抛物线上一动点,过点作轴的平行线交抛物线于点点关于直线的对称点为若以为顶点的三角形与全等,求直线的解析式．

【回答】

解:(1)由题意知，

，

解得，

所以,抛物线y的解析式为；

因为抛物线平移后得到抛物线,且顶点为，

所以抛物线的解析式为，

即；

(2)抛物线的对称轴为,设,已知，

过点作轴于,则

，

，

，

当时，

即，

解得或；

当时,得，无解；

当时,得,解得;

综上可知,在抛物线的对称轴上存在点使是等腰三角形,此时点的坐标为,,.

(3)设,

则,

因为关于对称,

所以,

情况一:当点在直线的左侧时,

,

,

又因为以构成的三角形与全等,

当且时,,

可求得,即点与点重合

所以,

设的解析式,

则有

解得,

即的解析式为,

当且时,无解,

情况二:当点在直线右侧时,

,

,

同理可得

的解析式为,

综上所述, 的解析式为或.

知识点：各地中考

题型：综合题