如图,直线与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线经过A,B两点,与x轴的另一个交点为C.(1)求抛物线的解析式...

问题详情：

如图,直线与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线经过A,B两点,与x轴的另一个交点为C.

(1)求抛物线的解析式;

(2)点P是第一象限抛物线上的点,连接OP交直线AB于点Q,设点P的横坐标为m,PQ与OQ的比值为y,求y与m的函数关系式,并求出PQ与OQ的比值的最大值;

(3)点D是抛物线对称轴上的一动点,连接OD,CD,设△ODC外接圆的圆心为M,当sin∠ODC的值最大时,求点M的坐标.

【回答】

解:(1)在y=-x+3中,

令y=0得x=4,令x=0得y=3,

∴点A(4,0),B(0,3).

把A(4,0),B(0,3)的坐标代入y=-x2+bx+c,得:

解得:

∴抛物线解析式为y=-x2+x+3.

(2)如图①,过点P作y轴的平行线交AB于点E,

则△PEQ∽△OBQ,

∴,

∵=y,OB=3,

∴y=PE.

∵P(m,m2+m+3),E(m,m+3),

∴PE=(m2+m+3)-(m+3)=m2+m,

∴y=(m2+m)=-m2+m=-(m-2)2+,

∵0<m<4,

∴当m=2时,y最大值=,

∴PQ与OQ的比值的最大值为.

(3)由抛物线y=-x2+x+3易求C(-2,0),对称轴为直线x=1.

∵△ODC的外心为点M,

∴点M在CO的垂直平分线上.

设CO的垂直平分线与CO交于点N,连接OM,CM,DM,如图②,

则∠ODC=∠CMO=∠OMN,MC=MO=MD,

∴sin∠ODC=sin∠OMN=,

∴sin∠ODC的值随着MO的减小而增大.

又MO=MD,

∴当MD取最小值时,sin∠ODC最大,

此时☉M与直线x=1相切,MD=2,

MN==,

∴点M(-1,-),

根据对称*,另一点(-1,)也符合题意.

综上所述,点M的坐标为(-1,)或(-1,-).

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：综合题