如图,抛物线y=-x2+x+1与y轴交于A点,过点A的直线与抛物线交于另一点B,过点B作BC⊥x轴,垂足为点C...
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如图,抛物线y=-x2+x+1与y轴交于A点,过点A的直线与抛物线交于另一点B,过点B作BC⊥x轴,垂足为点C(3,0).
(1)求直线AB的函数关系式;
(2)动点P在线段OC上从原点O出发以每秒一个单位的速度向点C移动,过点P作PN⊥x轴,交直线AB于点M,交抛物线于点N,设点P移动的时间为t秒,MN的长度为s个单位,求s与t的函数关系式,并写出t的取值范围;
(3)设在(2)的条件下(不考虑点P与点O、点C重合的情况),连接CM、BN,当t为何值时,四边形BCMN为平行四边形?问对于所求的t值,平行四边形BCMN是否为菱形?请说明理由.
【回答】
解:(1)设直线AB的函数关系式为y=ax+b(a≠0),
对于抛物线y=-x2+x+1,
令x=0,得y=1,即有A(0,1),
将点A的坐标代入直线AB的函数关系式,得b=1,
令x=3,得y=,即有B(3,),
将点B的坐标代入直线AB的函数关系式,得a=,
∴直线AB的函数关系式为y=x+1;………………………(3分)
(2)显然OP=t,即P(t,0),
将x=t代入抛物线解析式可得y=-t2+t+1,
即N(t,-t2+t+1),
将x=t代入直线AB的函数关系式可得y=t+1,
即M(t,t+1),
∴s=MN=-t2+t+1-(t+1),
∴s=-t2+t(0≤t≤3);……………………………………(6分)
(3)显然NM∥BC,
∴要使得四边形BCMN为平行四边形,只要MN=BC,
即s=-t2+t=,
解得t=1或t=2.
①当t=1时,M(1,),
∴MP=,CP=OC-OP=2.
在Rt△MPC中,CM===BC,
∴四边形BCMN为菱形;
②当t=2时,M(2,2),
∴MP=2,CP=1.
在Rt△MPC中,CM==≠BC.
∴四边形BCMN不是菱形.
综上,当t=1或t=2时,四边形BCMN为平行四边形;当t=1
时,平行四边形BCMN为菱形.……………………………(9分)
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:综合题
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