如图,过抛物线y=x2﹣2x上一点A作x轴的平行线,交抛物线于另一点B,交y轴于点C,已知点A的横坐标为﹣2....
问题详情:
如图,过抛物线y=x2﹣2x上一点A作x轴的平行线,交抛物线于另一点B,交y轴于点C,已知点A的横坐标为﹣2.
(1)求抛物线的对称轴和点B的坐标;
(2)在AB上任取一点P,连结OP,作点C关于直线OP的对称点D;
①连结BD,求BD的最小值;
②当点D落在抛物线的对称轴上,且在x轴上方时,求直线PD的函数表达式.[中
【回答】
【考点】HA:抛物线与x轴的交点;H8:待定系数法求二次函数解析式.
【分析】(1)思想确定点A的坐标,利用对称轴公式求出对称轴,再根据对称*可得点B坐标;
(2)①由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上,推出当O、D、B共线时,BD的最小值=OB﹣OD;
②当点D在对称轴上时,在Rt△OD=OC=5,OE=4,可得DE==3,求出P、D的坐标即可解决问题;
【解答】解:(1)由题意A(﹣2,5),对称轴x=﹣=4,
∵A、B关于对称轴对称,
∴B(10,5).
(2)①如图1中,
由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上,
∴当O、D、B共线时,BD的最小值=OB﹣OD=﹣5=5﹣5.
②如图2中,
图2
当点D在对称轴上时,在Rt△ODE中,OD=OC=5,OE=4,
∴DE==3,
∴点D的坐标为(4,3).
设PC=PD=x,在Rt△PDK中,x2=(4﹣x)2+22,
∴x=,
∴P(,5),
∴直线PD的解析式为y=﹣x+.
【点评】本题考查抛物线与X轴的交点、待定系数法、最短问题、勾股定理等知识,解题的关键是熟练掌握二次函数的*质,学会利用辅助圆解决最短问题,属于中考常考题型.
知识点:各地中考
题型:解答题
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