如图1,已知抛物线y=﹣x2+x+与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点D是点C关于抛物...
问题详情:
如图1,已知抛物线y=﹣x2+x+与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点D是点C关于抛物线对称轴的对称点,连接CD,过点D作DH⊥x轴于点H,过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E.
(1)求线段DE的长度;
(2)如图2,试在线段AE上找一点F,在线段DE上找一点P,且点M为直线PF上方抛物线上的一点,求当△CPF的周长最小时,△MPF面积的最大值是多少;
(3)在(2)问的条件下,将得到的△CFP沿直线AE平移得到△C′F′P′,将△C′F′P′沿C′P′翻折得到△C′P′F″,记在平移过称中,直线F′P′与x轴交于点K,则是否存在这样的点K,使得△F′F″K为等腰三角形?若存在求出OK的值;若不存在,说明理由.
【回答】
解:(1)对于抛物线y=﹣x2+x+,
令x=0,得y=,即C(0,),D(2,),
∴DH=,
令y=0,即﹣x2+x+=0,得x1=﹣1,x2=3,
∴A(﹣1,0),B(3,0),
∵AE⊥AC,EH⊥AH,
∴△ACO∽△EAH,
∴=,即=,
解得:EH=,
则DE=2;
(2)找点C关于DE的对称点N(4,),找点C关于AE的对称点G(﹣2,﹣),
连接GN,交AE于点F,交DE于点P,即G、F、P、N四点共线时,△CPF周长=CF+PF+CP=GF+PF+PN最小,
直线GN的解析式:y=x﹣;直线AE的解析式:y=﹣x﹣,
联立得:F (0,﹣),P(2,),
过点M作y轴的平行线交FH于点Q,
设点M(m,﹣m2+m+),则Q(m, m﹣),(0<m<2);
∴S△MFP=S△MQF+S△MQP=MQ×2=MQ=﹣m2+m+,
∵对称轴为:直线m=<2,开口向下,
∴m=时,△MPF面积有最大值: ;
(3)由(2)可知C(0,),F(0,),P(2,),
∴CF=,CP==,
∵OC=,OA=1,
∴∠OCA=30°,
∵FC=FG,
∴∠OCA=∠FGA=30°,
∴∠CFP=60°,
∴△CFP为等边三角形,边长为,
翻折之后形成边长为的菱形C′F′P′F″,且F′F″=4,
1)当K F′=KF″时,如图3,
点K在F′F″的垂直平分线上,所以K与B重合,坐标为(3,0),
∴OK=3;
2)当F′F″=F′K时,如图4,
∴F′F″=F′K=4,
∵FP的解析式为:y=x﹣,
∴在平移过程中,F′K与x轴的夹角为30°,
∵∠OAF=30°,
∴F′K=F′A
∴AK=4
∴OK=4﹣1或者4+1;
3)当F″F′=F″K时,如图5,
∵在平移过程中,F″F′始终与x轴夹角为60°,
∵∠OAF=30°,
∴∠AF′F″=90°,
∵F″F′=F″K=4,
∴AF″=8,
∴AK=12,
∴OK=11,
综上所述:OK=3,4﹣1,4+1或者11.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:综合题
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