如图1，抛物线y=﹣x2﹣4x+5与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求直线AC...

问题详情：

如图1，抛物线y=﹣x2﹣4x+5与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．

（1）求直线AC的解析式及顶点D的坐标；

（2）连接CD，点P是直线AC上方抛物线上一动点（不与点A、C重合），过P作PE∥x轴交直线AC于点E，作PF∥CD交直线AC于点F，当线段PE+PF取最大值时，在抛物线对称轴上找一点L，在y轴上找一点K，连接OL，LK，PK，求线段OL+LK+PK的最小值，并求出此时点L的坐标．

（3）如图2，点M（﹣2，﹣1）为抛物线对称轴上一点，点N（2，7）为直线AC上一点，点G为直线AC与抛物线对称轴的交点，连接MN，AM．点H是线段MN上的一个动点，连接GH，将△MGH沿GH翻折得到△M′GH（点M的对称点为M′），问是否存在点H，使得△M′GH与△NGH重合部分的图形为直角三角形，若存在，请求出NH的长，若不存在，请说明理由．

【回答】

【解答】解：（1）令y=0，则﹣x2﹣4x+5=0，解得x=﹣5或1，

∴A（﹣5，0），B（1，0），

令x=0，则y=5，

∴C（0，5），

设直线AC解析式为y=kx+b，则有，解得，

∴直线AC解析式为y=x+5．

∵y=﹣x2﹣4x+5=﹣（x+2）2+9，

∴顶点D坐标（﹣2，9）．

（2）（方法一）如图1中，连接PC、PA，作PT⊥AC于T．

∵点P在运动过程中，∠PEF，∠PFE是不变的，

∴当高PT最大时，PE、PF最大，即PE+PF最大，此时△PAC的面积最大，设P（m，﹣m2﹣4m+5），

∵S△PAC=S△PAO+S△PCO﹣S△AOC=×5×（﹣m2﹣4m+5）+×5×（﹣m）﹣×5×5=﹣m2﹣m=﹣（m+）2+，

∵﹣＜0，

∴m=﹣时，△PAC面积最大，此时P（﹣，），

方法二，设对称轴交AC于H，作PG∥y轴交AC于G．

∵A（﹣5，0），C（0，5），

∴直线AC的解析式为y=x+5，

设P（m，﹣m2﹣4m+5），则G（m，m+5），易知PG=PE=﹣m2﹣4m+5﹣m﹣5=﹣m2﹣5m，

∵CD==2，DH=6，

由△PFG∽△DCH，得=，即=，

∴PF=﹣m2﹣m，

∴PE+PF=﹣（1+）m2﹣（5+）m，

∵﹣（1+）＜0，

∴m=﹣=﹣时，PE+PF的值最大．此时P（﹣，），

作点O关于对称轴的对称点O′，O′关于y轴的对称点O″，连接PO″交y轴于K，连接O′K交对称轴于L．此时OL+LK+PK最短．

理由：∵LO=LO′，KO′=KO″，

∴LO+LK+PK=（LO′+KL）+PL=KO′+PK=KO″+PK=PO″，

∴LO+LK+PK最短．（两点之间线段最短），此时最小值==．

∵O″（4，0），

∴可得直线PO″的解析式为y=﹣x+，

∴点K坐标（0，），∵O′（﹣4，0），

∴直线O′K解析式为：y=x+，

∵x=﹣2时，y=，

∴点L坐标（﹣2，）．

（3）存在．

①如图2中，重叠部分是△GHT，当∠GHT=90°时，

∵M（﹣2，﹣1），N（2，7），

∴可得直线MN的解析式为y=2x+3，

∵G（﹣2，），GH⊥MN，

∴可得直线GH的解析式为y=﹣x+，

由解得，

∴点H坐标（﹣，），

∴NH==．

②如图3中，重叠部分是△GHT，当∠GTH=90°时，作HE⊥GM于E．

∵∠HGT=∠HGE，HT⊥GT，HE⊥GE，

∴HT=HE，设HT=HE=x，

由①可知，GT=GE==，TM=，MN=4，

由△MEH∽△MTG，得到， =，

∴=，

∴MH=﹣，

∴HN=MN﹣MH=+．

③如图4中，重叠部分是△GHT，当∠GTH=90°时，作GF⊥MN于F．

由②可知，GF=GT=，FN=，GN==，

由△NTH∽△NFG得=，

∴=，

∴NH=﹣．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：综合题