如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D...

问题详情：

如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．

（1）抛物线及直线AC的函数关系式；

（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；

（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由．

【回答】

解：（1）由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3），可得：，

解得：，

故抛物线为y=﹣x2+2x+3，

设直线AC解析式为y=kx+n，将点A（﹣1，0）、C（2，3）代入得：，

解得：，

故直线AC为y=x+1．

（2）作N点关于直线x=3的对称点N′，则N′（6，3），由（1）得D（1，4），

可求出直线DN′的函数关系式为y=﹣x+，

当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小，

则m=﹣×3+=．

（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2）

点E在直线AC上，设E（x，x+1），

①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3），

∵F在抛物线上，

∴x+3=﹣x2+2x+3

解得，x=0或x=1（舍去），

则点E的坐标为：（0，1）．

②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x﹣1），

∵点F在抛物线上，

∴x﹣1=﹣x2+2x+3，

解得x=或x=，

即点E的坐标为：（，）或（，）

综上可得满足条件的点E为E（0，1）或（，）或（，）．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：解答题