如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．（1）...

问题详情：

如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．

（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；

（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；

①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？

②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式．

【回答】

解：（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．抛物线的对称轴是：直线x=1．

（2）①设直线BC的函数关系式为：y=kx+b．

把B（3，0），C（0，3）分别代入得：解得：．所以直线BC的函数关系式为：y=﹣x+3．

当x=1时，y=﹣1+3=2，∴E（1，2）．

当x=m时，y=﹣m+3，∴P（m，﹣m+3）．

在y=﹣x2+2x+3中，当x=1时，y=4．∴D（1，4）

当x=m时，y=﹣m2+2m+3，∴F（m，﹣m2+2m+3）∴线段DE=4﹣2=2，

线段PF=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m∵PF∥DE，∴当PF=ED时，四边形PEDF为平行四边形．

由﹣m2+3m=2，解得：m1=2，m2=1（不合题意，舍去）．因此，当m=2时，四边形PEDF为平行四边形．

②设直线PF与x轴交于点M，由B（3，0），O（0，0），可得：OB=OM+MB=3．

∵S=S△BPF+S△CPF即S=PF•BM+PF•OM=PF•（BM+OM）=PF•OB．∴S=×3（﹣m2+3m）=﹣m2+m（0≤m≤3）．

方法二：（3）∵B（3，0），C（0，3），D（1，4），∴，∴，

∵∠DEC=∠COB=90°，∴△DEC∽△COB，∴∠DCE=∠CBO，∴∠DCE+∠OCB=90°，

∴DC⊥BC，∴△BCD的外接圆圆心M为BD中点，

∴MX==2，MY==2，∴△BCD的外接圆圆心M（2，2）．

知识点：二次函数单元测试

题型：解答题