如图,已知抛物线的顶点坐标为M(1,4),且经过点N(2,3),与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴...
问题详情:
如图,已知抛物线的顶点坐标为M(1,4),且经过点N(2,3),与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若直线y=kx+t经过C、M两点,且与x轴交于点D,试*四边形CDAN是平行四边形;
(3)点P在抛物线的对称轴x=1上运动,请探索:在x轴上方是否存在这样的P点,使以P为圆心的圆经过A、B两点,并且与直线CD相切?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
(1)y =-x2+2x+3;(2)*见解析;(3)满足题意的点P存在,其坐标为(1, ).
【解析】(1)解:由抛物线的顶点是M(1,4),
设解析式为y=a(x-1)2+4(a<0)
又抛物线经过点N(2,3),
所以3=a(2-1)2+4,解得a=-1
所以所求抛物线的解析式为y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3
(2)*:直线y=kx+t经过C(0,3)、M(1,4)两点,
∴,即k=1,t=3,即:直线解析式为y=x+3…4分
求得A(-1,0),D(-3,0),∴AD=2
∵C(0,3), N(2,3)
∴CN=2= AD,且CN∥AD
∴四边形CDAN是平行四边形.……………6分
(3)解:假设在x轴上方存在这样的P点,使以P为圆心的圆经过A、B两点,并且与直线CD相切,设P(1,u)其中u>0,
则PA是圆的半径且PA2=u2+22过P做直线CD的垂线,垂足为Q,则PQ=PA时以P为圆心的圆与直线CD相切.
由第(2)小题易得:△MDE为等腰直角三角形,故△PQM也是等腰直角三角形,
由P(1,u)得PE=u,PM=|4-u|,PQ=
由PQ2=PA2得方程:=u2+22, ……………………………………8分
解得,舍去负值u=,符合题意的u=,…………9分
所以,满足题意的点P存在,其坐标为(1,).…
知识点:二次函数的图象和*质
题型:解答题
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