如图,已知抛物线:的顶点为,与轴相交于两点(点在点的左边),点的横坐标是.(1)求点坐标及的值;(2)如图1,...
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如图,已知抛物线:的顶点为,与轴相交于两点(点在点的左边),点的横坐标是.
(1)求点坐标及的值;
(2)如图1,抛物线与抛物线关于轴对称,将抛物线向左平移,平移后的抛物线记为,的顶点为,当点关于点成中心对称时,求的解析式;
(3)如图2,点是轴负半轴上一动点,将抛物线绕点旋转后得到抛物线.抛物线的顶点为,与x轴相交于E、F两点(点E在点F的左边),当以点P、N、E为顶点的三角形是直角三角形时,求顶点的坐标.
【回答】
解:(1)由抛物线C1:得顶点P的坐标为(2,5)………….1分
∵点A(-1,0)在抛物线C1上∴.………………2分
(2)连接PM,作PH⊥x轴于H,作MG⊥x轴于G..
∵点P、M关于点A成中心对称,
∴PM过点A,且PA=MA..
∴△PAH≌△MAG..
∴MG=PH=5,AG=AH=3.
∴顶点M的坐标为(,5).………………………3分
∵抛物线C2与C1关于x轴对称,抛物线C3由C2平移得到
∴抛物线C3的表达式. …………4分
(3)∵抛物线C4由C1绕x轴上的点Q旋转180°得到
∴顶点N、P关于点Q成中心对称.
由(2)得点N的纵坐标为5.
设点N坐标为(m,5),作PH⊥x轴于H,作NG⊥x轴于G,作PR⊥NG于R.
∵旋转中心Q在x轴上,
∴EF=AB=2AH=6.
∴EG=3,点E坐标为(,0),H坐标为(2,0),
R坐标为(m,-5).
根据勾股定理,得
①当∠PNE=90º时,PN2+ NE2=PE2,
解得m=,∴N点坐标为(,5)
②当∠PEN=90º时,PE2+ NE2=PN2,
解得m=,∴N点坐标为(,5).
③∵PN>NR=10>NE,∴∠NPE≠90º ………7分
综上所得,当N点坐标为(,5)或(,5)时,以点P、N、E为顶点的三角形是直角三角形.…………………………………………………………………………………8分
知识点:各地中考
题型:综合题
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