如图，抛物线与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线，点C坐标为．（1）求抛物线表达式；（2...

问题详情：

如图，抛物线与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线，点C坐标为．

（1）求抛物线表达式；

（2）在抛物线上是否存在点P，使，如果存在，求出点P坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，若点P在x轴上方，点M是直线BP上方抛物线上的一个动点，求点M到直线BP的最大距离；

（4）点G是线段AC上的动点，点H是线段BC上的动点，点Q是线段AB上的动点，三个动点都不与点重合，连接，得到，直接写出周长的最小值．

【回答】

（1）；（2）存在，或，理由见解析；（3）；（4）

【解析】

（1）利用抛物线的对称轴为，求出的值，再把的值和C的坐标代入计算即可；

（2）作轴于点E，利用相似三角形的判定方法可*得，设，则，再分别讨论的位置列式求解即可；

（3）作轴于点F，交BP于点R，作于点N，用待定系数法求出直线BP的解析式，利用解析式表示出MR的长度，再通过求*联合建立比值关系列式计算即可；

（4）作点关于的对称点，作关于的对称点，连接与于，与交于点，连接交于，连接交于，此时的周长最小，这个最小值=，再*，最小时，周长最小，利用图2*当点与点重合时最小，在图3中利用相似三角形的*质求出的最小值即可解决问题．

【详解】

解：（1）∵抛物线对称轴为

将代入中，

（2）作轴于点E

（此处也可以由等角的正切值相等得到）                     

设，则

①当点P在X轴上方时：

解得（不符题意，舍）                            

②当点P在x轴下方时：

解得（不符题意，舍）          

或

（3）作轴于点F，交BP于点R，作于点N

∵

∴，

设

将代入得

解得

设，则

，

在中

当时，MN最大为．

（4）周长最小值是

解：作点关于的对称点，作关于的对称点，连接与于，与交于点，连接交于，连接交于，此时的周长最小，这个最小值=．

∵，

∴

∴当最小时，最小，如图2中：

∵

∴、、、四点共圆，线段就是圆的直径，是弦；

∵是定值

∴直径最小时，弦最小

∴当点与点重合时，最小，此时最小，如图3中：

∵在中，，，

∴

∵，，

∵，

∴

∴

∴

∵，

∴

∴

∴，同理可得：

∴

∴

∵

∴

∴

∴

∴

∴周长的最小值=

【点睛】

本题主要考查了二次函数综合题，其中涉及了待定系数法求二次函数，二次函数与坐标轴交点问题，待定系数法求一次函数，相似三角形的判断与*质，圆的*质，勾股定理，中位线，三角函数等知识点，熟练掌握二次函数的*质及相似三角形的判定定理并灵活运用分类讨论的思想是解题的关键．

知识点：相似三角形

题型：综合题